「球」の版間の差分
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== 3次元空間の球の計量 ==
以下、''S'' は[[表面積]]、''V'' は[[体積]]、
=== 表面積 ===
:<math>
:「心 (4) 配 (
;証明例1
:半径 ''r'' の球は半円 <math>y=\sqrt{r^2 -x^2}</math> を ''x'' 軸周りに回転することによって得られる。ある ''x'' から ''x'' +
::<math>\Delta S=2\pi y\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=2\pi y\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x</math>
:となる。したがって表面積 ''S'' は
::<math>S=2\pi \int_{-r}^{r}y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=2\pi r\int_{-r}^{r}dx=4\pi r\int_{0}^{r}dx =4\pi r^2</math>
;証明例2
[[画像:BallSurface.svg|thumb|カヴァリエリの原理による表面積の求め方の説明図]]
:[[カヴァリエリの原理]]を用いて、球の表面積は、その球が内接する[[円柱]]の側面の面積と等しいというものがある。
:円柱の中心と鉛直に、極限まで薄く断面のスライスをとったとき、スライスの位置を ''θ
;証明例3
:またこの幅 ''rdθ'' のスライスを回転させたものは、円周
::<math>
:である。これを積分すると
::<math>S=
=2
=4\pi r^2</math>
=== 体積 ===
:<math> V = \frac{4}{3} \pi r^3 </math>
:「身 (3) の上に (/)
;証明例
:半球の底面を ''z'' = 0 とすると、''z'' 軸と[[直交]]する球内の平面の面積 ''S''(''z'') は半径 <math>\sqrt{r^2-z^2}</math> の[[円 (数学)|円]]の面積に等しい。したがって ''S''(''z'') =
::<math>\frac{V}{2}=\int_{z=0}^{z=r}S(z)dz=\pi\int_0^r(r^2-z^2)dz=\pi\left[r^2z-\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{r}=\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{2}{3}\pi r^3</math>
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=== その他の性質 ===
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== n次元空間の球 ==
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