「球」の版間の差分

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== 3次元空間の球の計量 ==
以下、''S'' は[[表面積]]、''V'' は[[体積]]、π{{π}} は[[円周率]]、''r'' は[[半径]]を表す。
 
=== 表面積 ===
:<math> S = 4 \pi r^2 </math>
:「心 (4) 配 (&pi;{{π}}) ごとがある (''r'') 事情(2([[自]])」と覚える。
;証明例1
:半径 ''r'' の球は半円 <math>y=\sqrt{r^2 -x^2}</math> を ''x'' 軸周りに回転することによって得られる。ある ''x'' から ''x'' + &Delta;''xΔx'' にかけての微小な表面積 &Delta;''SΔS'' は
::<math>\Delta S=2\pi y\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=2\pi y\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x</math>
:となる。したがって表面積 ''S'' は
::<math>S=2\pi \int_{-r}^{r}y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=2\pi r\int_{-r}^{r}dx=4\pi r\int_{0}^{r}dx =4\pi r^2</math>
 
;証明例2
[[画像:BallSurface.svg|thumb|カヴァリエリの原理による表面積の求め方の説明図]]
:[[カヴァリエリの原理]]を用いて、球の表面積は、その球が内接する[[円柱]]の側面の面積と等しいというものがある。
:円柱の中心と鉛直に、極限まで薄く断面のスライスをとったとき、スライスの位置を ''θ(''([[ラジアン]])、幅を ''(''(ラジアン)、球および円柱の半径を ''r'' とすると、球の表面のスライスの面積はrdθ×2π ''rdθ'' × 2{{π}}(rcosθ''r''cos ''θ'')となる。円柱側面のスライスはrdθcosθ×2πr ''rdθ''cos ''θ'' × 2{{π}}''r'' となり、これらは等しい。すなわち内接する円柱の側面積に等しい。よって2r×2πr 2''r'' × 2{{π}}''r'' =4πr< 4{{π}}''r''{{sup>|2</sup>}}
 
;証明例3
:またこの幅 ''rdθ'' のスライスを回転させたものは、円周 2{{π}}(''r・cosθ''cos ''θ'') であり、面積は
::<math> 2 \pi r \cos \theta \cdot r drd\theta</math>
:である。これを積分すると
::<math>S= \int_{-\frac {\pi} 2}^{\frac {\pi }2} 2 \pi ( r \cos \theta ) \cdot r drd\theta
=2 \pi r^2 \{ \sin \frac {\pi }2 - \sin ( - \frac {\pi}2 2) \}
=4\pi r^2</math>
 
=== 体積 ===
:<math> V = \frac{4}{3} \pi r^3 </math>
:「身 (3) の上 (/) 心 (4) 配 (&pi;{{π}}) ある (''r'') 参上(3乗)」と覚える。
;証明例
:半球の底面を ''z'' = 0 とすると、''z'' 軸と[[直交]]する球内の平面の面積 ''S''(''z'') は半径 <math>\sqrt{r^2-z^2}</math> の[[円 (数学)|円]]の面積に等しい。したがって ''S''(''z'') = &pi; {{π}}( ''r''<{{sup>|2</sup>}} -&minus; ''z''<{{sup>|2</sup>}}) であり、半球の体積は
::<math>\frac{V}{2}=\int_{z=0}^{z=r}S(z)dz=\pi\int_0^r(r^2-z^2)dz=\pi\left[r^2z-\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{r}=\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{2}{3}\pi r^3</math>
 
 
=== その他の性質 ===
* 球の体積を ''r'' で微分すると球の表面積が、逆に球の表面積を積分定数を 0 として ''r'' で積分すると球の体積が得られる。
* 球面を微少な面積 ''δ'' に分割し、その面積 ''δ'' を囲む図形の周と球の中心を結んた球分の体積を、底辺 ''δ'' ,高さ ''r'' の錐で近似すると ''δδr'' ''r''/3/ 3、それらの総和として ''V'' = ''SSr'' ''r''/3/ 3 を導くことができる。
 
== n次元空間の球 ==
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