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{{古典力学}}
'''運動エネルギー'''（うんどうエネルギー、kinetic energy）は、[[運動 (物理学)|運動]]している[[物体]]が持つ[[エネルギー]]。運動している物体の速度を変化させるため際に必要なエネルギー（生じる[[仕事 (物理学)|仕事]]）である。英語の kinetic は[[ギリシア語]]の κίνησις (kinesis) に由来し、「運動」を意味する。''kinetic energy'' という言葉は、1850年頃[[ウィリアム・トムソン]]によって初めて用いられた。
 
== 歴史 ==
== 直線運動の運動エネルギー ==
一方、上後述の数学する一般的証説明がなされる以前にも、[[ガリレオ・ガリレイ|ガリレオ]]によって、物体の[[振り子運動]]の観察により、物体の速度を''ｖ''、高さを''ｈ''、重力加速度を''ｇ''、とすることで、▼
[[ニュートン力学]]的（非相対論的、古典的）には、運動をする物体の運動エネルギー ''K'' は、[[質量]] ''m'' と[[速さ]] ''v'' の2乗に比例する。すなわち、▼
:<math>2gh = v^2</math>▼
という関係が発見されていた。ここで''v'' は物体の速さ、''h'' は物体の基準点からの高さ、''g'' [[重力加速度]]である。
 
== ニュートン力学における定義 ==
▲[[ニュートン力学]]的（非相対論的、古典的）にはおいて、運動をする物体の運動エネルギー ''K'' (''t'' ) は、[[質量]] ''m'' と[[速さ]] ''v'' (''t'' ) の 2 乗に比例する。<ref group="注">''v'' は速度ベクトル'''''v''''' の大きさを表すなわち、。</ref>。
{{Indent|
<math>K(t) = \frac{1}{2}mv^2(t).</math>
}}
 
運動エネルギーは、[[ニュートンの運動方程式]]と物体に及ぼされる力学的[[仕事]]の定義から導かれる。運動方程式、
運動方程式が
{{Indent|
<math>m\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(t),t)</math>
}}
と書かれてについるときて、この力 '''<math>F'''(\boldsymbol{x}(t),t)</math> が時刻 <math>t_0</math> \toから時刻 <math>t_1</math> の間に為す仕事 <math>W(t_0 \to t_1) </math> は、
{{Indent|
<math> \begin{align}
W(t_0 \to t_1) &= \int_{t_0}^{t_1} (\boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{vx}(t)\,t) dt\cdot d\boldsymbol{x}(t) \\
&= \int_{t_0}^{t_1} \leftboldsymbol{F}( m\frac{d\boldsymbol{v}}{dtx}(t),t) \cdot {d\boldsymbol{vx}(t) \right)over dt} dt\\
&= \int_{t_0}^{t_1} (\fracboldsymbol{dKF}(\boldsymbol{dtx}(t),t) \cdot\boldsymbol{v}(t))\, dt \\
&= \int_{t_0}^{t_1} \left( m\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t) \right) dt \\
&= \int_{t_0}^{t_1} \frac{dK(t)}{dt} dt \\
&= K(t_1)-K(t_0)
\end{align} </math>
}}
となる。
つまり、'''物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事量に等しい'''。
 
また、こ特に物体に一定のとき力 '''''F''''' が加えられ、物体の位置が <math> \mathbfboldsymbol{x} \to</math> から <math>\mathbfboldsymbol{x}+\Delta \mathbfboldsymbol{x}</math> とまで、<math>\Delta \boldsymbol{x}</math> だけ変化したとするとき、
 
:<math>\frac{1}{2}m\mathbf{v}_1mv^2(t_1) - \frac{1}{2}m\mathbf{v}_0mv^2(t_0)
= \mathbfboldsymbol{F}\cdot\Delta\mathbfboldsymbol{x}</math>
これはエネルギー積分とも呼ばれる。
 
という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で[[自由落下]]する場合、[[重力加速度]]は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。
▲一方、上述の数学的証明がなされる以前、[[ガリレオ・ガリレイ|ガリレオ]]によって、物体の[[振り子運動]]の観察により、物体の速度を''ｖ''、高さを''ｈ''、重力加速度を''ｇ''、とすることで、
力'''''F''''' を物体の質量''m'' と加速度 '''&alpha;''' の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。
▲:<math>2gh = v^2</math>
:<math>v^2(t_1) - v^2(t_0)
という関係が発見されていた。
= 2\boldsymbol{\alpha}\cdot\Delta\boldsymbol{x}.</math>
 
== 回転運動の運動エネルギー ==
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== 解析力学における運動エネルギー ==
[[ラグランジュ力学]]の出発点となる[[ラグランジュ力学#ラグランジアン|ラグランジアン]] ''L'' は運動エネルギー ''K'' と[[ポテンシャルエネルギー]] ''V'' の差として定義されすることができる。
 
:<math>L(q,\dot{q};t)=K(\dot{q})-V(q)</math>
 
この際、ラグランジアンの引[[変数]]は[[一般化座標]] <math>q(t)</math> とその[[時間微分]] <math>\dot{q}(t)</math>、及び時間刻 ''<math>t''</math> である。
多くの場合、一般化座標として位置 <math>x</math> や 回転角 <math>\theta</math> とするので、運動エネルギーは
 
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となる。
 
[[ハミルトン力学]]の出発点となる[[ハミルトン力学#定式化#ハミルトニアン |ハミルトニアン]]''H'' はラグランジアンの[[ルジャンドル変換]]から、
 
:<math>H(q,p;t)=\sum p\dot{q}-L</math>
 
として定義される。ハミルトニアンの引変数は一般化座標 <math>q(t)</math> と一般化[[運動量]] <math>p(t)</math> である。元のラグランジアンでポテンシャルが <math>\dot{q}(t)</math> に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、
:<math>p_i(t)=\frac{\partial L}{\partial v_i}=m_iv_i</math>
:<math>l_j(t)=\frac{\partial L}{\partial \omega_j}=I_j\omega_j</math>
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となる。
 
== 脚注 ==
<references group="注"/>
 
== 参考文献 ==
<references />
 
== 関連項目 ==
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