「プロパゲーター」の版間の差分
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:<math>\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.</math>
If <math>K(x,t;x',t')</math> only depends on the difference <math>x-x'</math>, this is a [[convolution]] of the initial state and the propagator.-->
===自由粒子と調和振動子のプロパゲーター===
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:<math>K(\vec{x},\vec{x}';t)=\prod_{q=1}^N K(x_q,x_q';t)</math>.
により容易に得ることができる。
<!---For a time translational invariant system, the propagator only depends on the time difference (t-t'), thus it may be rewritten as
:<math>K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t')</math>.
The propagator of a one-dimensional free particle, with the far-right expression obtained via a [[saddle-point approximation]],<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/SaddlePointApproximation.html Saddle point approximation], planetmath.org</ref> is then
:<math>K(x,x';t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^2 t/(2m)}=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^2/(2i\hbar t)}</math>.
The propagator of a one-dimensional harmonic oscillator is
:<math>K(x,x';t)=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{m\omega((x^2+x'^2)\cos\omega t-2xx')}{2i\hbar \sin\omega t}\right)</math>.
For the N-dimensional case, the propagator can be simply obtained by the product
:<math>K(\vec{x},\vec{x}';t)=\prod_{q=1}^N K(x_q,x_q';t)</math>.-->
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