「ヒルベルト空間」の版間の差分

ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の[[函数空間]]として、[[数学]]、[[物理学]]、[[工学]]などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間に[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]、[[エルハルト・シュミット|シュミット]]、[[リース・フリジェシュ|リース]]らによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、[[偏微分方程式]]論、[[量子力学の数学的基礎|量子力学]]、[[フーリエ解析]]（[[信号処理]]や熱伝導などへの応用も含む）、[[熱力学]]の研究の数学的基礎を成す[[エルゴード理論]]などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]である。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、[[函数解析学]]の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、[[自乗可積分函数]]の空間、[[数列空間|自乗総和可能数列の空間]]、[[超函関数]]からなる[[ソボレフ空間]]、[[正則函数]]の成す[[ハーディ空間]]などが挙げられる。

ヒルベルト空間は[[偏微分方程式]]を調べる基本的な道具である<ref name="BeJoSc81">{{harvnb|Bers|John|Schechter|1981}}.</ref>。即ち、[[楕円型偏微分方程式|楕円型線型方程式]]のような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える函数のクラスを拡張して[[弱解]]と呼ばれる超函関数解を考えることができるが、弱解の定式化（弱定式化）の多くはヒルベルト空間を成す[[ソボレフ空間|ソボレフ函数]]のクラスを含むものになっているのである。解を求めたり、あるいはしばしばより重要な、与えられた境界条件に対する解の存在および一意性を示したりする解析学的な問題が、適当な弱定式化によって幾何学的問題に還元される。楕円型線型方程式に対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つが[[ラックス・ミルグラムの定理]]である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対する[[ガレルキン法]]（[[有限要素法]]の一つ）の基盤をなしている<ref>この観点からの有限要素法の詳細が {{harvtxt|Brenner|Scott|2005}} にある。</ref>。