「台形公式」の版間の差分

133.2.251.40 (会話) による ID:50655551 の版を取り消し
(133.2.251.40 (会話) による ID:50655551 の版を取り消し)
:''a'' = ''a''<sub>0</sub> < ''a''<sub>1</sub> < &hellip; < ''a''<sub>''n''</sub> = ''b''
として積分区間 [''a'', ''b''] をより小さい''n'' 個の部分区間 [''a''<sub>0</sub>,''a''<sub>1</sub>], [''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>], &hellip; , [''a''<sub>''n''&minus;1</sub>,''a''<sub>''n''</sub>] に分け、それぞれの区間で台形とみなして面積を近似計算する。
:<math>\begin{align} \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x
&= \int_{a_0}^{a_1} f(x)\, \mathrm{d}x + \int_{a_1}^{a_2} f(x)\, \mathrm{d}x + \cdots + \int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x)\, \mathrm{d}x \\
&= \sum_{k=1}^{n} \int_{a_{k-1}}^{a_k} f(x)\, \mathrm{d}x \\
&\approx \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2} \end{align}</math>
 
=== 区間幅が等間隔の場合 ===
:<math>a_k = a+k\frac{b-a}{n} \quad (k=0,\dots,n)</math>
ととることで
:<math>\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x &\approx \sum_{k=1}^{n}(b-a)\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2n} \\
&= \frac{b-a}{2n} \sum_{k=1}^{n}(f(a_{k-1}) + f(a_k))\\
&= \frac{b-a}{2n} \left(f(a_0) + 2f(a_1) + 2f(a_2)+\cdots+2f(a_{n-1}) + f(a_n) \right)\\
&= \frac{b-a}{n} \left\{\frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right\}
\end{align}</math>
という公式が得られる。
 
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