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「微分方程式系の可積分条件」の版間の差分

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Enyokoyama (会話 | 投稿記録)
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==必要十分条件==
パフィアン系が'''完全可積分'''(complete integrability)であるための必要十分条件は、{{仮リンク|[[フロベニウスの定理|en|Frobenius theorem (differential topology)}}(Frobenius theorem)]]により与えられる．フロベニウスの定理の一つのバージョンは、イデアル <math>\mathcal I</math> が代数的に環 Ω(''M'') 内の α<sub>i</sub> により生成されるとすると、言い換えると
:<math>d{\mathcal I}\subset {\mathcal I},</math>
とすると、系は最大積分可能多様体により{{仮リンク|葉層構造|en|foliation}}(foliation)を持つ。（逆は定義より明らかである。）
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==応用例==
[[リーマン幾何学]]（[[:en:Riemannian geometry|Riemannian geometry]]）では、垂直な{{仮リンク|余フレーム|en|coframe}}(coframe) θ<sup>i</sup> を、すなわち、閉である（dθ<sup>i</sup> = 0, i=1,2, ..., n）すべての点での余接空間の基底を形成する 1-形式の集まりを見つけ出す問題を考える。[[ポアンカレの補題]]により、θ<sup>i</sup> は局所的に多様体上のある函数 x<sup>i</sup> の微分形式 dx<sup>i</sup> となり、'''R'''<sup>n</sup> の開部分集合である M の開部分集合と等長(isometry)となる。そのような多様体を'''局所平坦'''(locally flat)という。
 
この問題は、M の{{仮リンク|フレームバンドル|label=余フレームバンドル}}(coframe bundle)の疑問に帰着する。そのような閉余フレームがあったとする。
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\end{align}
</math>
である。しかし、<math>\omega=(dM)M^{-1}</math> は{{仮リンク|直交群|en|orthogonal group}}(orthogonal group)の[[モーレー・カルタンの微分形式}}(Maurer–Cartan form)]]である。従って、構造方程式<math>d\omega+\omega\wedge\omega=0</math> に従い、これはまさに M の[[曲率]] <math>\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega=0</math> である。フロベニウスの定理の応用により、多様体 M が局所平坦ということ、曲率がゼロであるということとは同値であると結論できる。
<!---==Examples of applications==
In [[Riemannian geometry]], we may consider the problem of finding an orthogonal [[coframe]] θ<sup>''i''</sup>, i.e., a collection of 1-forms forming a basis of the cotangent space at every point with <math>\langle\theta^i,\theta^j\rangle=\delta^{ij}</math> which are closed (dθ<sup>''i''</sup> = 0, i=1,2, ..., ''n''). By the [[Poincaré lemma]], the θ<sup>''i''</sup> locally will have the form d''x<sup>i</sup>'' for some functions ''x<sup>i</sup>'' on the manifold, and thus provide an isometry of an open subset of M with an open subset of '''R'''<sup>''n''</sup>. Such a manifold is called '''locally flat.'''
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[[Category:微分トポロジー]]
[[Category:微分方程式系]]
[[Category:数学に関する記事]]
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