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7行目: == 概要 == 点列概念の一般化である有向点族の概念が導入された背景を説明するため、まず以下の基本的な問いを考える：「位相空間Ｘ上の位相構造に関する概念（~~例えば~~すなわち開集合や閉集合）を点列の極限によって特長づける事はできるか？」。もし答えが「できる」であれば、位相空間上の性質を点列という直観的に分かりやすい概念で表現できる事になるので、非常に有益である~~。実際[[距離空間]]の場合は閉集合や開集合を点列の極限で定義できる事が有益に働いていた~~。結論から言えばＸが[[第一可算公理]]を満たせばそのような特徴づけが可能であり、この場合例えばＸの部分集合Ａが閉集合である事はＡ内の点列の極限（もしあれば）が必ずＡに属する事をもって特徴づけられる。開集合や閉包の概念も同様に、第一可算公理を満たす空間では点列の収束で特長づけられる事が知られている。 ~~しかし~~このような特長づけができる空間は[[列型空間]]といい、位相空間Ｘが列型空間である必要十分条件はＸが[[第一可算公理と]]を満たす空間の商空間になる事である事が知られている。しかしこのような条件のない一般の位相空間の場合このような特徴づけができない例がある事が知られている。これは点列という概念がそもそも可算個の点の列として定義されている事と関係しており、可算個の点の列で位相構造をとらえられるよう、空間の方にも第一可算公理という可算性に関する条件を課す必要があるのである。点列の極限で位相構造を特徴づけられない例としては、整列順序集合[0,ω<sub>1</sub>]に順序から定まる位相を入れた空間がある。ここで ω<sub>1</sub>は非可算順序数である。実際この集合においてω<sub>1</sub>は明らかに[0,ω<sub>1</sub>)の閉包に属しているにも関わらず、[0,ω<sub>1</sub>)内のいかなる点列もω<sub>1</sub>に収束しない。なぜなら ω<sub>1</sub>の非可算性により、 [0,ω<sub>1</sub>)内の任意の点列に対し、点列に属する可算個の点のいずれよりも大きい順序数ω<ω<sub>1</sub>が存在するので、 ω<sub>1</sub>の開近傍(ω,ω<sub>1</sub>]には点列の点が存在せず、したがって点列はω<sub>1</sub>に収束していない事になるからである。

「有向点族」の版間の差分