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[[関数解析学作用素環論]]において、'''ゲルファント＝マズールの定理'''(-のていり、{{lang-en-short|Gelfand–Mazur theorem}})とは[[バナッハ環]]の基本定理の一つ。単位元を持つ可換な複素バナッハ環が[[体 (数学)|体]]であれば、[[複素数|複素数体]]と同型であることを主張する。定理の名は、定理を導いたポーランドの数学者{{仮リンク|スタニスワフ・マズール|en|Stanisław Mazur}}とロシアの数学者[[イズライル・ゲルファント]]に因む<ref name ="mazur1938"> S. Mazur, "[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087/date1938.langFR Sur les anneaux linéaires]," ''C. R. Acad. Sci. Paris'' '''207''pp. 1025-1027 (1938)</ref><ref name ="gelfand1941">
I. Gelfand, "[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=6046&option_lang=eng Normierte Ringe]," ''Mat. Sbornik N. S.'' '''9''' (51) pp.3-24 (1941) </ref>。
== 定理の内容 ==
単位元''I'' を持つ可換な複素バナッハ環''A'' において、''A'' が体、すなわち0を除くすべての元が[[可逆元|可逆]]であるとする。このとき、''A'' は複素数体'''C'''と[[等長写像|等距離]][[同型]]である<ref name ="gelfand1941"></ref>。
定理の証明は、[[作用素論]]の基本的な結果に基づく。任意の''a'' ∈''A''に対し、[[スペクトル集合]]σ(''a'' )は[[空集合]]でないことから、''a'' -λ ''I'' ∈ σ(''a'' )となるλ ∈'''C'''が存在する。一方、仮定により、0を除く全ての元が可逆であることから、''a'' =λ''I'' となる。
== ゲルファント理論への応用 ==
バナッハ環のゲルファント理論における、「''A'' の極大イデアル''M'' と指標と呼ばれる''A'' から複素数体'''C''' への[[線形汎関数で]]χが準同型性χ(''xy'' )=χ(''x'' )χ(''y'' )を満たすとき、χは指標と呼ばれる。バナッハ環のゲルファント理論における、「単位元を持つ可換な複素バナッハ環''A'' の[[極大イデアル]]''M'' と指標χの[[核 (数学)|核]]kerχが[[一対一対応]]とする」という結果は、ゲルファント＝マズールの定理から導くことができる<ref name ="gelfand1941"></ref>。
== 脚注 ==
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