「ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数」の版間の差分
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==定義==
固有値 <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots </math> の{{仮リンク|ラプラス-ベルトラミ作用素|en|laplacian<!-- リダイレクト先の「[[:en:Laplace operator]]」は、[[:ja:ラプラス作用素]] とリンク -->}} Δ を持つ N 次元コンパクトリーマン多様体 M に対して、作用素 Δ のゼータ函数が、十分大きな <math>\operatorname{Re}(s) </math> について
:<math> Z(s) = \operatorname{Tr}(\Delta^{-s}) = \sum_{n=1}^{\infty} \vert \lambda_{n} \vert^{-s}.</math>
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とゼータ函数を定義することができる．ここに f<sub>n</sub> は正規化された固有函数である．この定義は全複素数 s について s の有理函数へと[[解析接続]]され、P≠Q では正則です．
ありうる極は単純な極だけで、N が奇数のときは、s = N/2, N/2−1, N/2−2,..., 1/2,−1/2, −3/2,... で極を持ち、N が偶数のときは、s = N/2, N/2−1, N/2−2, ...,2, 1 で極を持つ．N が奇数のときは Z(P,P,s) は s = 0, −1, −2,... でゼロとなる．N が偶数のときは、{{仮リンク|ウィーナー-池原の定理|en|Wiener-Ikehara theorem<!-- 「[[:en:Wiener–Ikehara theorem]]」へ、リダイレクト -->}}より値は明らかに系として得ることができ、関係式
:<math>\displaystyle Z(P,P,s)\sim\frac{T^{N/2}}{(2\sqrt{\pi})^N\Gamma(N/2+1)} </math>
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==熱核==
ゼータ函数の解析接続は、
:<math> K(P,Q,t) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(P)f_n(Q) e^{- \lambda_{n}t} </math>
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が、λ → ∞ に対して成り立つ．加えて、k → ∞ に対しては、
:<math> (\lambda_k)^{n/2}\sim\frac{(2\pi)^nk}{\omega_n Vol(M)}.</math>
が成り立つ．これは{{仮リンク|ワイルの法則|en|Weyl's law<!-- 「[[:en:Hearing the shape of a drum#Weyl's formula]]」へ、リダイレクト -->}}とも呼ばれ、ミナクシサンドラム-プレイジェルの漸近展開の精密化でもある．
==参考文献==
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