「凸関数」の版間の差分

'''凸関数'''（とつかんすう、{{lang-en|convex function}}）、'''下に凸関数''' ({{en|downward-convex function}}) とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] ''{{mvar|f''}} で、区間内の任意の 2 点 ''{{mvar|x'' , ''y''}} と閉区間 <nowiki>[{{math|{{!(}}0, 1]</nowiki>{{)!}}}} 内の任意の ''{{mvar|t''}} に対して

また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 ''{{mvar|x'' , ''y''}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の ''{{mvar|t''}} に対して

を満たす関数である(（従って、下に凸な関数の事である)）。

{{math|&minus;''f''}} が凸関数のとき、''{{mvar|f''}} を'''凹関数'''（おうかんすう、{{en|[[:en:Concave function|concave function]]}}）と呼ぶ。日本の学校教育においては、凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。

凸開区間 ''{{mvar|C''}} で定義された凸関数 ''{{mvar|f''}} は[[連続 (数学)|連続]]で、[[高々可算]]個の点を除いて[[微分可能]]である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。

''{{mvar|f''}} が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の ''{{mvar|x'', と ''y''}} に対して

を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に {{math|''t'' {{=}} 1/2}} の式である。

また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、{{math|''y'' {{=}} ''x'' {{sup|4}}}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。

より一般的に、[[滑らかな関数|{{math|''C'' {{sup|2}}}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。

''{{mvar|f'' , ''g''}} が凸関数であるとき、非負の ''{{mvar|a'' , ''b''}} について {{math|''af'' + ''bg''}} は凸関数である。同様に、{{math|max {{(}}''f'' , ''g'' {{)}}}} も凸関数である。

''{{mvar|f''}} が凸関数のとき、[[レベル集合]] {{math|{{(}}''x'' |{{!}} ''f'' (''x'' ) &lt; ''a'' {{)}}}} と {{math|{{(}}''x'' |{{!}} ''f'' (''x'' ) &le; ''a'' {{)}}}} は、任意の {{math|''a'' &isin; '''R'''}} について凸集合である。

定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''対数凸関数''' ({{en|''logarithmically convex function''}} ) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。

*{{math|''x'' {{sup|2}}}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。

*{{math|''x'' {{sup|3}}}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において凸関数であり、{{math|''x'' &lt; 0}} において凹関数である。

*[[指数関数]] {{math|e''e{{sup|x}}''}} は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。

*[[ガンマ関数]] {{math|&Gamma;(''x'' )}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において対数凸関数である。

*[[絶対値]]関数 {{math|{{!}}''x'' |{{!}}}} は {{math|''x'' {{=}} 0}} で微分不可能であるが凸関数である。

*区間 [{{math|{{!(}}0, 1]{{)!}}}} 上で、{{math|''f'' (0) {{=}} ''f'' (1) {{=}} 1, 0 &lt; ''x'' &lt; 1}} のとき {{math|''f'' (''x'' ) {{=}} 0}} で定義された ''{{mvar|f''}} は不連続であるが、凸関数である。