「凸関数」の版間の差分

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[[Image:Convex-function-graph-1.png|thumb|350px|right|凸関数の例(緑の曲線)]]
'''凸関数'''(とつかんすう、{{lang-en|convex function}})、'''下に凸関数''' ({{en|downward-convex function}}) とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] ''{{mvar|f''}} で、区間内の任意の 2 点 ''{{mvar|x'' , ''y''}} と閉区間 <nowiki>[{{math|{{!(}}0, 1]</nowiki>{{)!}}}} 内の任意の ''{{mvar|t''}} に対して
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
を満たすものをいう。言い換えれば、[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]](グラフ上およびグラフの上部の点の集合)が[[凸集合]]である関数である。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。
 
また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 ''{{mvar|x'' , ''y''}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の ''{{mvar|t''}} に対して
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
を満たす関数である(従って、下に凸な関数の事である)
 
{{math|&minus;''f''}} が凸関数のとき、''{{mvar|f''}} を'''凹関数'''(おうかんすう、{{en|[[:en:Concave function|concave function]]}})と呼ぶ。日本の学校教育においては、凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。
 
== 凸関数の性質 ==
凸開区間 ''{{mvar|C''}} で定義された凸関数 ''{{mvar|f''}} は[[連続 (数学)|連続]]で、[[高々可算]]個の点を除いて[[微分可能]]である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。
 
''{{mvar|f''}} が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の ''{{mvar|x'', と ''y''}} に対して
:<math>f \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2}</math>
を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に {{math|''t'' {{=}} 1/2}} の式である。
 
区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。
 
また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、{{math|''y'' {{=}} ''x'' {{sup|4}}}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。
 
より一般的に、[[滑らかな関数|{{math|''C'' {{sup|2}}}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。
 
''{{mvar|f'' , ''g''}} が凸関数であるとき、非負の ''{{mvar|a'' , ''b''}} について {{math|''af'' + ''bg''}} は凸関数である。同様に、{{math|max {{(}}''f'' , ''g'' {{)}}}} も凸関数である。
 
凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である。
 
''{{mvar|f''}} が凸関数のとき、[[レベル集合]] {{math|{{(}}''x'' |{{!}} ''f'' (''x'' ) &lt; ''a'' {{)}}}} と {{math|{{(}}''x'' |{{!}} ''f'' (''x'' ) &le; ''a'' {{)}}}} は、任意の {{math|''a'' &isin; '''R'''}} について凸集合である。
 
== 対数凸関数 ==
定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''対数凸関数''' ({{en|''logarithmically convex function''}} ) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。
 
== 例 ==
*{{math|''x'' {{sup|2}}}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
*{{math|''x'' {{sup|3}}}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において凸関数であり、{{math|''x'' &lt; 0}} において凹関数である。
*[[指数関数]] {{math|e''e{{sup|x}}''}} は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
*[[ガンマ関数]] {{math|&Gamma;(''x'' )}}{{math|''x'' &gt; 0}} において対数凸関数である。
*[[絶対値]]関数 {{math|{{!}}''x'' |{{!}}}}{{math|''x'' {{=}} 0}} で微分不可能であるが凸関数である。
*区間 [{{math|{{!(}}0, 1]{{)!}}}} 上で、{{math|''f'' (0) {{=}} ''f'' (1) {{=}} 1, 0 &lt; ''x'' &lt; 1}} のとき {{math|''f'' (''x'' ) {{=}} 0}} で定義された ''{{mvar|f''}} は不連続であるが、凸関数である。
*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
*[[アフィン写像]]は凸関数であり、凹関数でもある。
*[[劣モジュラ関数]]
*[[ルジャンドル変換]]
*[[ギンツブルグ-ランダウ理論]]
 
{{DEFAULTSORT:とつかんすう}}
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