「中線定理」の版間の差分
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中線定理の成立は、計量ベクトル空間におけるノルムがある内積から導かれるための必要条件であるを示しているが、{{要出典範囲|逆に十分条件でもあることが、[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]及び[[パスクアル・ヨルダン]]によって示されている。|date=2014年6月}}すなわち、必ずしも内積を有していない[[ノルム空間]]において、ノルムが中線定理を満たすならば、そのノルムを与えるような内積が存在する。
実際、中線定理が成立している場合に、実数体'''R'''上のノルム空間の元'''''x''''', '''''y'''''に対して、
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したがって、
:<math>OM^2 = \frac{1}{4} \left \| \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right \| ^2
:<math>AM^2 = \frac{1}{4} \left \| \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}\right \| ^2
▲:<math>= \left \| \boldsymbol{a}\right \| ^2+\left \| \boldsymbol{b}\right \| ^2-\left(\left \| \boldsymbol{a}\right \| ^2+\left \| \boldsymbol{b}\right \| ^2\right) = 0.</math> [[Q.E.D.]]
これより、辺々を加えて2倍すると、
:<math>2\left(OM^2+AM^2\right)=\left \| \boldsymbol{a}\right \| ^2 + \left \| \boldsymbol{b}\right \| ^2= OA^2+OB^2.</math> [[Q.E.D.]]
=== 解析幾何学による証明 ===
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