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3行目: 本項目では、'''音楽と数学'''の関連性について述べる。 [[音楽]]は現代[[数学]]の[[公理]]的基礎を持たないにも関かかわらず、[[音楽]]理論家は音楽を理解するために[[数学]]を使用することがある。数学は「音の基礎」であり、音楽に存在する音それ自体の配列が注目すべき数的性質を宿している。これは単に自然「自体」が驚くほどに数学的であるからである<ref>Reginald Smith Brindle, ''The New Music'', Oxford University Press, 1987, pp 42-3</ref>。古代[[中国]]人、[[エジプト]]人、そして[[メソポタミア]]人は音の数学的原理を研究していたことで知られているが<ref>Reginald Smith Brindle, ''The New Music'', Oxford University Press, 1987, p 42</ref>、古代ギリシアの[[ピタゴラス教団]]が数の[[比率]]、特に小さな整数の比率による[[音階]]の表現を研究した研究者集団として有名である<ref>Plato, (Trans. Desmond Lee) ''The Republic'', Harmondsworth Penguin 1974, page 340, note.</ref>。彼らの[[教義\|教条]]は「[[自然]]界のあらゆる構成物は数から生じるἉρμονία [[ハルモニア]]（[[調和]]）から成り立っている」というものであった<ref>Sir James Jeans, ''Science and Music'', Dover 1968, p. 154.</ref>。 [[プラトン]]の時代よりハルモニアは[[自然学]]（物理学）の基礎部門のひとつとして見なされていた。（なお、この部門は現代では[[音響学]]として知られている。）古代のインドや中国の音楽理論家もまた似たような方法論をとった。彼らは皆、[[和声]]や[[リズム]]の数学的法則が私達の暮らす世界の理解だけでなく、人類自体の理解にとっても不可欠なものであることを示そうと務めた<ref>Alain Danielou, ''Introduction to the Study of Musical Scales'', Mushiram Manoharlal 1999, Chapter 1 ''passim''.</ref>。[[孔子]]はピタゴラスと同じく、小さな数である1、2、3、4をあらゆる完全性の根源であるとみなしていた<ref>Sir James Jeans, ''Science and Music'', Dover 1968, p. 155.</ref>。 25行目: [[音階]]は音楽を作成、記述する際に用いられる[[音高]]の[[離散数学\|離散]][[集合]]である。西洋伝統音楽において最も重要な音階は[[全音階]]であるが、歴史上の様々な時代や地域で異なる音階が使用、提案されてきた。各々の音高は特定周波数に対応している。特定周波数は一般にヘルツ (Hz)で表現するが、時にcycles per second (c.p.s.)を用いることもある。音階は反復の音程、通常は[[オクターヴ]]を有する。あらゆる音高の[[オクターヴ]]は元の音高が持つ周波数のちょうど二倍に相当する。これを繰り返すことにより、2、3、4オクターヴ上げた音高の周波数はそれぞれ元の音高の4、8、16倍となっている。同様に、1、2、3オクターヴ下げた場合の音高の周波数は元の音高の周波数の1/2、1/4、1/8倍となっておりサブオクターヴと呼ばれる。音楽のハーモニーにおいて特定の音高が調和していると考えられる場合、その1オクターヴ上の音高が調和していない場合は存在しない。従って、あらゆる音符とそのオクターヴは一般に音楽体系で名付けられていることを見いだせる（例として、'''ド'''、'''A'''、'''Sa'''といった単語で呼ばれる音がある）。最初のオクターヴが'''A<sub>2</sub>'''と'''A<sub>3</sub>'''、つまり110Hzから220Hzまでの間隔 (間隔=110Hz)の間の周波数として表現されるとき、次のオクターヴは220Hzから440Hz (間隔=220Hz)の間の周波数で、3番目のオクターヴは440Hzから880Hz (間隔=440Hz)の間の周波数で表現される。各々、次のオクターヴの周波数の間隔は前の周波数の間隔の二倍となっている。人間は音階を記述する際、音高それ自身の正確性よりも各音高間の関係もしくは[[比率]]（[[音程]]として知られる）に興味を持つ事ことが多いため、特定の音高から見た比率を考察してすべての音階、音高を把握することが多い。この特定の音高は値1 ('''1/1'''で記述されることが多い)で記述することが多く、一般に音階の主音として機能する音符である。また、音程比較には[[セント (音楽)\|セント]]を用いることが多い。 [[Image:4Octaves.and.Frequencies.svg\|thumb\|right\|400px\|線形周波数音階で測定した際のオクターヴの指数的性質を示した図]]

「音楽と数学」の版間の差分