「ヒルベルト空間」の版間の差分

</math></div>をすべての ''ƒ''&nbsp;∈&nbsp;''L''^2,''h''(''D'') に対して満たすようなものが取れる。被積分函数の因子<div style="margin: 1ex 2em;"><math>K(\zeta,z) = \overline{\eta_z(\zeta)}</math></div>は ''D'' の[[ベルグマン核]]と呼ばれる[[積分核]]で、再生性<div style="margin: 1ex 2em;"><math>f(z) = \int_D f(\zeta)K(\zeta,z)\,d\mu(\zeta)</math></div>を満足する。

 

 

== 応用 ==

ヒルベルト空間は[[偏微分方程式]]を調べる基本的な道具である<ref name="BeJoSc81">{{harvnb|Bers|John|Schechter|1981}}.</ref>。即ち、[[楕円型偏微分方程式|楕円型線型方程式]]のような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える函数のクラスを拡張して[[弱解]]と呼ばれる超函数解を考えることができるが、弱解の定式化（弱定式化）の多くはヒルベルト空間を成す[[ソボレフ空間|ソボレフ函数]]のクラスを含むものになっているのである。解を求めたり、あるいはしばしばより重要な、与えられた境界条件に対する解の存在および一意性を示したりする解析学的な問題が、適当な弱定式化によって幾何学的問題に還元される。楕円型線型方程式に対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つが[[ラックス・ミルグラムの定理]]である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対する[[ガレルキン法]]（[[有限要素法]]の一つ）の基盤をなしている<ref>この観点からの有限要素法の詳細が {{harvtxt|Brenner|Scott|2005}} にある。</ref>。

 

: <math>\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v = \int_\Omega gv</math>

を満たすような函数 ''u'' を求めることからなる。これは、''u'' およびその弱偏導函数がともに境界上で消えている Ω 上の自乗可積分函数となるような函数 ''u'' からなるヒルベルト空間 ''H''{{su|p=1|b=0}}(Ω) の言葉で書き直すことができて、問題はこの空間 ''H''{{su|p=1|b=0}}(Ω) の任意の元 ''v'' に対して

を満たすような ''u'' を空間 ''H''{{su|p=1|b=0}}(Ω) の中で求めることに帰着される。ただし、''a'' および ''b'' はそれぞれ

: <math>a(u,v) = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v,\quad b(v)= \int_\Omega gv</math>

 

多くの楕円型偏微分方程式に対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。同様の方法は[[放物型偏微分方程式|抛物型偏微分方程式]]やある種の[[双曲型偏微分方程式]]に対しても、適当な修正を施せば通用する。