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「ユークリッド距離」の版間の差分

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21行目:
{{NumBlk|:|<math>\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{q}-\mathbf{p})}</math>|{{EquationRef|2}}}}
 
にちょうど等しい（これは等式 {{EquationRef|1}} と同値）。これはまた
: <math>\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}</math>
 
と書くこともできる。
 
===1 一次元 ===
1一次元においてはの場合、[[実数直線]]における2二点間の距離は、それら2二点の数値的な差の[[絶対値である]]に等しい。したがってつまり、もし'' {{mvar|x''と''}} および {{mvar|y''が}} を実数直線上の2二点であるならとすれば、それらの2点間の距離は次の式によって与えられる：
: <math>\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.</math>▼
で与えられる。
1一次元においては、単一の同斉次のみが存在し、かつ平行移動不変計量な[[距離函数]]（言い換えれば即ち、[[ノルム]]によってから導かれる距離）であり、長さのが（定数倍率の[[違いを除いて(up to a scale factor of length)]]）ただ一つ、それがユークリッド距離であのみが存在する。より高い次元の場合においては、これ以外他のノルムもが存在しう得る。▼
 
===2 二次元 ===▼
▲:<math>\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.</math>
[[ユークリッド平面]]においては、もし{{math|'''p'''&nbsp;{{=}}&nbsp;(''p''<sub>1</sub>,&nbsp;''p''<sub>2</sub>)}} および {{math|'''q'''&nbsp;{{=}}&nbsp;(''q''<sub>1</sub>,&nbsp;''q''<sub>2</sub>)であ}} のとき、それば、らの間の距離は次のように与えられる：▼
: <math>\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}.</math>▼
で与えられる。これは[[ピタゴラスの定理]]に等しいと同値。▼
 
あるいはもう一つ、等式 ({{EquationRef|2}}) からすれば当然の結果従うこととして、 もし点 {{math|'''p'''}} の[[極座標]]が{{math|(''r''<sub>1</sub>,&nbsp;θ<sub>1</sub>)であり、そして}} および {{math|'''q'''}} の極座標が{{math|(''r''<sub>2</sub>,&nbsp;θ<sub>2</sub>)であるならば、'''p'''}} '''q'''のとき、それらの間の距離は▼
▲1次元においては、単一の同次のみが存在し、平行移動不変計量（言い換えれば、[[ノルム]]によって導かれる距離）であり、長さの倍率を除いて(up to a scale factor of length)、それがユークリッド距離である。より高い次元においては、これ以外のノルムも存在しうる。
: <math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math>▼
 
で与えられる。
▲===2次元===
▲ユークリッド平面においては、もし'''p'''&nbsp;=&nbsp;(''p''<sub>1</sub>,&nbsp;''p''<sub>2</sub>)および'''q'''&nbsp;=&nbsp;(''q''<sub>1</sub>,&nbsp;''q''<sub>2</sub>)であれば、距離は次のように与えられる：
 
▲:<math>\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}.</math>
 
▲これは[[ピタゴラスの定理]]に等しい。
 
▲あるいは、等式 ({{EquationRef|2}})からすれば当然の結果として、 もし点'''p'''の極座標が(''r''<sub>1</sub>,&nbsp;θ<sub>1</sub>)であり、そして'''q'''の極座標が(''r''<sub>2</sub>,&nbsp;θ<sub>2</sub>)であるならば、'''p''' '''q'''間の距離は
 
▲:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math>
 
===3次元===
52 ⟶ 49行目:
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2}.</math>
 
=== 平方ユークリッド平方距離 ===
標準的なユークリッド距離は、2つの遠くより離れた物体に段階的に対象ほどより大きなウェイト重みをかけもつようにするために、2乗され通常のユークリッド距離を平方することがあを考える。この場合、等ことを式は次のようになる。すれば
:<math>d^2(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...\cdots+(p_i - q_i)^2+...\cdots+(p_n - q_n)^2.</math>
と書ける。
ユークリッド平方距離は[[三角不等式]]を満たさないため計量(metric)ではないが、ユークリッド平方距離は単に距離を比較する最適化プログラムにおいて頻繁に使われる。ユークリッド平方距離は[[w:Rational trigonometry|Rational trigonometry]]という分野では[[w:Rational trigonometry#Quadrance|Quadrance]]と呼ばれる。
平方ユークリッド距離は[[三角不等式]]を満たさないため距離函数とはならないが、必要なのが距離を比較することだけというような最適化問題においては頻繁に使われる。
 
{{仮リンク|有理三角法|en|Rational trigonometry}}に関する分野において{{仮リンク|二次距離|en|Rational trigonometry#Quadrance}}（{{lang-en-short|quadrance}}<ref group="note">'''quadr'''atic（二次の）+dist'''ance'''（距離）の[[かばん語]]</ref>）と呼ばれることもある。
 
== 注 ==
<references group="note" />
 
== 関連項目 ==
* {{仮リンク|チェビシェフ距離|en|Chebyshev distance}}: 最も大きな寄与を持つ方向のみが関係すると仮定して距離を測る。
*[[チェビシェフ距離]]（参考：[[パフヌティ・チェビシェフ]]）
* [[ハミング距離]]: 二つの文字列のビットごとの差を指し示す
* [[マハラノビス距離]]: 共変行列による正規化で距離函数をスケール不変計量とする
* [[マンハッタン距離]]: 軸に平行な方向のみを辿った距離を測る
* [[距離函数|計量]]
* {{仮リンク|ミンコフスキー距離|en|Minkowski distance}}: ユークリッド距離、マンハッタン距離、チェビシェフ距離などを統合するような一般化
*[[ミンコフスキー距離]]
*[[ {{仮リンク|ピュタゴラス加算]]和|en|Pythagorean addition}}
 
== 参考文献 ==
* Elena Deza & Michel Marie Deza (2009) ''Encyclopedia of Distances'', page 94, Springer.
* http://www.statsoft.com/textbook/cluster-analysis/, March 2, 2011
 
{{デフォルトソートDEFAULTSORT:ゆうくりっどけいつときよりょう}}
[[Category:ユークリッド幾何学]]
[[Category:距離空間]]
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