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初等教育では 1+1=2 は自明のこととして扱われるが、[[公理]]から出発して[[証明]]された[[命題]]のみを真実として認める、という[[エウクレイデス]]以来の哲学からすると、1+1=2 の論理的な位置付けを明らかにすることが望まれる。[[数学基礎論]]が整備されつつあった時代に、[[アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド|ホワイトヘッド]]と[[バートランド・ラッセル|ラッセル]]は、数学の基礎的な部分を完全に形式的に展開することを目標として『[[プリンキピア・マテマティカ]]』を著した。この書物では、[[数理論理学|記号論理学]]的な準備に数百項が費やされており、実際に[[十進法]]の演算が定義されて 1+1=2 が証明されるまで700ページあまりを必要としている<ref>プリンキピア・マテマティカ、第2巻、[http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=AAT3201.0002.001;didno=AAT3201.0002.001;view=pdf;seq=00000126 *110.643] で、1+1=2 が証明された、と宣言されている。</ref>。
『プリンキピア・マテマティカ』は、先駆的な仕事であったものの、現代的には批判もあり、自然数の定義として通常採用されるのは[[ペアノの公理]]である。それによると、自然数の間に「後者関数」と呼ばれる[[関数 (数学)|関数]] suc(''a'') が与えられ、
== 抽象代数 ==
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