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#REDIRECT [[佐藤超函数]]
'''佐藤の超関数'''（さとうのちょうかんすう、{{lang|en|''[[:en:Hyperfunction|hyperfunction]]''}}; ハイパーファンクション）は、関数を一般化した概念「[[超関数]]」の一つの表現で、ふたつの[[正則関数]]の境界値の「差」として表される。略式的には、無限位数の[[シュワルツの超関数]]と考えることもできる。佐藤の超関数は、[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディェク]]らによる先行研究に基づき、1958年に[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]によって導入された。
== 概要 ==
実数直線上で定義される佐藤の超関数というものを、上半平面上で正則な関数と下半平面上で正則な関数との「差」として定義するには、上半平面上の正則関数 ''f'' と下半平面上の正則関数 ''g'' に対して、対 (''f'', ''g'') を佐藤の超関数と定めるのが最も簡単である。
大まかに言えば、佐藤の超関数は実数直線上で差 ''f'' − ''g'' によって与えられるところのものであり、この差は ''f'' と ''g'' の双方に同じ正則関数を加えても何の影響も受けない。ゆえに ''h'' を[[ガウス平面]]全体で正則な関数とすると、ふたつの対 (''f'', ''g'') と (''f'' + ''h'', ''g'' + ''h'') は佐藤の超関数として互いに同値であるものと定められる。
== 数学的定義 ==
佐藤の超関数を正則関数の境界値の差として定めようという目的は、[[層コホモロジー|層係数コホモロジー]]の概念を用いることで具体的に実現することができる。<math>\mathcal{O}</math> を '''C''' 上の[[正則関数]]全体の成す[[層 (数学)|層]]とすると、実数直線上の佐藤の超関数の全体は 1-次の[[局所コホモロジー]]群によって
:<math>\mathcal{B}(\mathbb{R}) = H^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}, \mathcal{O})</math>
と定められる。具体的には、'''C'''<sup>+</sup> および '''C'''<sup>−</sup> をそれぞれ[[上半平面]]および[[下半平面]]とすると、
:<math>\mathbb{C}^+ \cup \mathbb{C}^- = \mathbb{C} \smallsetminus \mathbb{R}</math>
であり、
:<math>H^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}, \mathcal{O}) = \left[ H^0(\mathbb{C}^+, \mathcal{O}) \oplus H^0(\mathbb{C}^-, \mathcal{O}) \right] /H^0(\mathbb{C}, \mathcal{O})</math>
とかくことができる。0-次の層係数コホモロジー群は単にその層の[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]全体のことであるから、これによって定義される佐藤の超関数を、上半平面上の正則関数と下半平面上の正則関数の対を[[整関数|全平面で正則な関数]]で割ったものと見なすことができる。
== 例 ==
* ''f'' がガウス平面全域で正則な関数であるならば、''f'' を実軸に制限したものは (''f'', 0) あるいは (0, −''f'') で表される佐藤の超関数である。
* [[ディラックのデルタ関数|デルタ「関数」]]は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>\left(-\frac{1}{2\pi iz},-\frac{1}{2\pi iz}\right)</math></div>によって佐藤の超関数として表される。これは[[コーシーの積分公式]]の言い換えである。
* <p>''g'' が有界区間 ''I'' にその台が含まれる実数直線上の[[連続関数]]（あるいはもっと一般にシュワルツの超関数）ならば、''f'' を<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math> f(z)={1\over 2\pi i}\int_{x\in I} g(x){dx\over z-x}</math></div>で定義される ''I'' の[[差集合#補集合|補集合]]上で正則な関数として、''g'' は佐藤の超関数 (''f'', −''f'') に対応する。</p><p>この ''f'' は点 ''x'' において実軸をまたぐとき、値が ''g''(''x'') だけ跳ぶ関数である。 ''f'' についてのこの公式は上の例で ''g'' を ''g'' とディラックデルタとの[[畳み込み]]として表すことによって得られる。</p>
* 関数 ''f'' が 0 を[[真性特異点]]として持つ以外は正則である（たとえば ''e''<sup>1/''z''</sup>）ならば、(''f'', −''f'') は 0 を台とする佐藤の超関数で、シュワルツの超関数ではないものとなる。''f'' が 0 を位数有限なる極とするならば、(''f'', −''f'') はシュワルツの超関数となるから、''f'' が真性特異点を持つときの (''f'', −''f'') を 0 において「無限位数を持つシュワルツの超関数」のように見なすことができる（シュワルツの超関数は各点で有限位数を持つことに注意）。
佐藤の超関数を用いた具体的計算例は参考文献の今井の著書に詳しい。
<!--==超関数上の作用素==
<math>\textstyle U\subseteq\mathbb{R}</math> を任意の開集合とする。
* 定義により、<math>\textstyle \mathcal{B}(U)</math> はベクトル空間であり、複素数の加法と乗法がwell-definedである。明らかに、
:<math>a(f_+,f_-)+b(g_+,g_-) := (af_++ag_+, af_-+bg_-)</math>
が成り立つ。
* 制限写像は、<math>\textstyle\mathcal{B}</math> から、ある[[層 (数学)|層]]への写像であり、写像は実際、{{仮リンク|柔軟層|en|flabby sheaf}}(flabby)である。
* Multiplication with real analytic functions <math>\textstyle h\in\mathcal{O}(U)</math> and differentiation are well-defined:
:<math>h(f_+,f_-) := (hf_+, hf_-)</math>, <math>\frac{d}{dz}(f_+,f_-):=(\frac{df_+}{dz},\frac{df_-}{dz})</math>
:With these definitions <math>\textstyle\mathcal{B}</math> becomes a [[D-module]] and the embedding <math>\textstyle\mathcal{D}'\hookrightarrow\mathcal{B}</math> is a morphism of D-modules.
* A point <math>\textstyle a\in U</math> is called a ''holomorphic point'' of <math>\textstyle f\in\mathcal{B}(U)</math> if f restricts to a real analytic function in some small neighbourhood of a. If <math>\textstyle a\le b</math> are two holomorphic points, then integration is well-defined:
:<math>\int_a^b f := -\int_{\gamma_+} f_+(z) dz + \int_{\gamma_-} f_-(z) dz</math>
:where <math>\textstyle\gamma_{\pm}:[0,1] \to \mathbb{C}^{\pm}</math> are arbitrary curves with <math>\textstyle\gamma_{\pm}(0)=a, \gamma_{\pm}(1)=b</math>. The integrals are independent of the choice of these curves because the upper and lower half plane are [[simply connected]].
:Via bilinear form <math>\mathcal{B}_c(U)\times\mathcal{O}(U)\to\mathbb{C}, (f,\varphi)\mapsto\int f\cdot\phi</math> associates to each hyperfunction with compact support a continuous linear function on <math>\mathcal{O}(U)</math>. This induces an identification of the dual space <math>\mathcal{O}'(U)</math> with the space of hyperfunctions with compact support. A special case worth considering is the case of continuous functions or distributions with compact support: If one considers <math>C_c^0(U)</math> (or <math>\mathcal{E}'(U)</math>) as a subset of <math>\mathcal{B}(U)</math> via the embedding from above, then this computes exactly the traditional Lebesgue-integral. Furthermore: If <math>\textstyle u\in\mathcal{E}'(U)</math> is a distribution with compact support and <math>\textstyle\varphi\in\mathcal{O}(U)</math> is a real analytic function, and <math>\operatorname{supp}(u)\subset(a,b)</math> then <math>\int_a^b u\cdot\phi = \langle u,\phi\rangle</math>. Thus this notion of integration gives a precise meaning to formal expressions like <math>\int_a^b \delta(x) dx</math> which are undefined in the usual sense. Moreover: Because the real analytic functions are dense in <math>\mathcal{E}(U)</math>, <math>\mathcal{E}'(U)</math> is a subspace of <math>\mathcal{O}'(U)</math>. This is an alternative description of the same embedding <math>\mathcal{E}'\hookrightarrow\mathcal{B}</math>.
* If <math>\Phi:U\to V</math> is a real analytic map between open sets of <math>\mathbb{R}</math>, then composition with <math>\Phi</math> is a well-defined operator <math>\mathcal{B}(V)\to\mathcal{B}(U)</math>:
:<math>f\circ\Phi:=(f_+\circ\Phi,f_-\circ\Phi)</math>-->
<!--==Operations on hyperfunctions==
Let <math>\textstyle U\subseteq\mathbb{R}</math> be any open subset.
* By definition <math>\textstyle \mathcal{B}(U)</math> is a vector space such that addition and multiplication with complex numbers are well-defined. Explicitly:
:<math>a(f_+,f_-)+b(g_+,g_-) := (af_++ag_+, af_-+bg_-)</math>
* The obvious restriction maps turn <math>\textstyle\mathcal{B}</math> into a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] (which is in fact [[flabby sheaf|flabby]]).
* Multiplication with real analytic functions <math>\textstyle h\in\mathcal{O}(U)</math> and differentiation are well-defined:
:<math>h(f_+,f_-) := (hf_+, hf_-)</math>, <math>\frac{d}{dz}(f_+,f_-):=(\frac{df_+}{dz},\frac{df_-}{dz})</math>
:With these definitions <math>\textstyle\mathcal{B}</math> becomes a [[D-module]] and the embedding <math>\textstyle\mathcal{D}'\hookrightarrow\mathcal{B}</math> is a morphism of D-modules.
* A point <math>\textstyle a\in U</math> is called a ''holomorphic point'' of <math>\textstyle f\in\mathcal{B}(U)</math> if f restricts to a real analytic function in some small neighbourhood of a. If <math>\textstyle a\le b</math> are two holomorphic points, then integration is well-defined:
:<math>\int_a^b f := -\int_{\gamma_+} f_+(z) dz + \int_{\gamma_-} f_-(z) dz</math>
:where <math>\textstyle\gamma_{\pm}:[0,1] \to \mathbb{C}^{\pm}</math> are arbitrary curves with <math>\textstyle\gamma_{\pm}(0)=a, \gamma_{\pm}(1)=b</math>. The integrals are independent of the choice of these curves because the upper and lower half plane are [[simply connected]].
:Via bilinear form <math>\mathcal{B}_c(U)\times\mathcal{O}(U)\to\mathbb{C}, (f,\varphi)\mapsto\int f\cdot\phi</math> associates to each hyperfunction with compact support a continuous linear function on <math>\mathcal{O}(U)</math>. This induces an identification of the dual space <math>\mathcal{O}'(U)</math> with the space of hyperfunctions with compact support. A special case worth considering is the case of continuous functions or distributions with compact support: If one considers <math>C_c^0(U)</math> (or <math>\mathcal{E}'(U)</math>) as a subset of <math>\mathcal{B}(U)</math> via the embedding from above, then this computes exactly the traditional Lebesgue-integral. Furthermore: If <math>\textstyle u\in\mathcal{E}'(U)</math> is a distribution with compact support and <math>\textstyle\varphi\in\mathcal{O}(U)</math> is a real analytic function, and <math>\operatorname{supp}(u)\subset(a,b)</math> then <math>\int_a^b u\cdot\phi = \langle u,\phi\rangle</math>. Thus this notion of integration gives a precise meaning to formal expressions like <math>\int_a^b \delta(x) dx</math> which are undefined in the usual sense. Moreover: Because the real analytic functions are dense in <math>\mathcal{E}(U)</math>, <math>\mathcal{E}'(U)</math> is a subspace of <math>\mathcal{O}'(U)</math>. This is an alternative description of the same embedding <math>\mathcal{E}'\hookrightarrow\mathcal{B}</math>.
* If <math>\Phi:U\to V</math> is a real analytic map between open sets of <math>\mathbb{R}</math>, then composition with <math>\Phi</math> is a well-defined operator <math>\mathcal{B}(V)\to\mathcal{B}(U)</math>:
:<math>f\circ\Phi:=(f_+\circ\Phi,f_-\circ\Phi)</math>-->
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=今井功|authorlink=今井功 (物理学者)|year=1981|month=5|title=応用超関数論|volume=Ⅰ|publisher=サイエンス社|isbn=978-4-7819-0215-9}} - 「佐藤の超関数」にもとづく具体的計算を体系的にまとめた。
* {{Cite book|和書|author=今井功|authorlink=今井功 (物理学者)|year=1981|month=5|title=応用超関数論|volume=Ⅱ|publisher=サイエンス社|isbn=978-4-7819-0216-6}}
* {{Cite book|和書|author=金子晃|authorlink=金子晃|year=1980|month=8|title=超函数入門|volume=上|series=UP応用数学選書 1|publisher=東京大学出版会}}
** {{Cite book|和書|author=金子晃|authorlink=金子晃|year=1990|month=1|title=超函数入門|volume=上|edition=第2版|series=UP応用数学選書 1|publisher=東京大学出版会|isbn=4-13-064081-X}}
** {{Cite book|和書|author=金子晃|authorlink=金子晃|year=1982|month=5|title=超函数入門|volume=下|series=UP応用数学選書 6|publisher=東京大学出版会}}
** {{Cite book|和書|author=金子晃|authorlink=金子晃|year=1996|month=11|title=超函数入門|edition=新版|publisher=東京大学出版会|isbn=4-13-061300-6}}
* {{Cite book|和書|author=森本光生|authorlink=森本光生|year=1976|title=佐藤超函数入門|series=共立講座 現代の数学 20|publisher=共立出版}}
** {{Cite book|和書|author=森本光生|authorlink=森本光生|year=2000|month=9|title=佐藤超函数入門|edition=復刊|publisher=共立出版|isbn=4-320-01659-9}}
* {{citation|last=Hörmander|first=Lars|authorlink=ラース・ヘルマンダー|title=The analysis of linear partial differential operators, Volume I: Distribution theory and Fourier analysis|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin|year=2003|isbn=3-540-00662-1}}.
* {{citation|last=Sato|first=Mikio|authorlink=佐藤幹夫 (数学者)|title=Theory of Hyperfunctions, I|url=http://hdl.handle.net/2261/6027|journal=Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry|volume=8|year=1959|issue=1|pages=139–193}}.
* {{citation|last=Sato|first=Mikio|authorlink=佐藤幹夫 (数学者)|title=Theory of Hyperfunctions, II|url=http://hdl.handle.net/2261/6031|journal=Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry|volume=8|year=1960|issue=2|pages=387–437}}.
== 関連項目 ==
* [[超関数]]
* [[シュワルツの超関数]]
* [[正則関数]]
{{DEFAULTSORT:さとうのちようかんすう}}
<!-- [[Category:代数解析学]] -->
[[Category:複素解析]]
[[Category:超関数]]
<!-- [[Category:層の理論]] -->
[[Category:数学に関する記事]]
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