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「シュテファン＝ボルツマンの法則」の版間の差分

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'''シュテファン=ボルツマンの法則'''（シュテファンボルツマンのほうそく、{{Lang-en|Stefan-Boltzmann law}}）は、[[熱輻射]]により[[黒体]]から放出される[[電磁波]]の[[エネルギー]]と[[温度]]の関係を表した[[物理法則]]である。[[ヨーゼフ・シュテファン]]が[[1879年]]に実験的に明らかにし、弟子の[[ルートヴィッヒ・ボルツマン]]が[[1884年]]に理論的な証明を与えた。ステファンのカナ表記、呼称も用いられる。
{{物理定数
| 名称 = シュテファン=ボルツマン定数
| 英語 = Stefan-Boltzmann constant
| 記号 = σ
| 値 = 5.670 373(21){{e-|8}} W m<sup>-2</sup> K<sup>-4</sup>
| 不確かさ = 3.6{{e-|6}}
| 語源 = [[ヨーゼフ・シュテファン]]、[[ルートヴィッヒ・ボルツマン]]
}}'''シュテファン=ボルツマンの法則'''（シュテファンボルツマンのほうそく、{{lang-en-short|Stefan-Boltzmann law}}）は、[[黒体]]の表面から放射されるエネルギーフラックス (単位面積から、単位時間当たりに放出される[[電磁波]]のエネルギー) ''I'' が、その黒体の[[熱力学温度]] ''T'' の4乗に比例するという物理法則である。'''ステファン=ボルツマンの法則'''ともいう。[[ヨーゼフ・シュテファン]]が本法則を実験的に明らかにし（[[1879年]]）、弟子の[[ルートヴィッヒ・ボルツマン]]が理論的な証明を与えた（[[1884年]]）。
 
この法則によると、''I'' と''T'' の間熱輻射により黒体から放出されるエネルギーは[[熱力学温度]]の4乗に比例する。
[[放射発散度]]を {{mvar|I}}、熱力学温度を {{mvar|T}} とすれば
{{Indent|
<math>I =\sigma T^4</math>
}}
という関係が成り立つ。放射発散度と熱力学温度の関係として表した時の比例係数 {{mvar|&sigma;}} は'''[[#シュテファン=ボルツマン定数|シュテファン=ボルツマン定数]]'''と呼ばれる。
 
現実の物体は黒体であるとは限らない。その場合は {{math|0&le;{{mvar|&epsilon;}}&le;1}} の係数を用いて
{{Indent|<math> I = \sigma T^4 </math>}}
{{Indent|
<math>I =\epsilon \sigma T^4</math>
}}
のように補正される。
係数 {{mvar|&epsilon;}} は'''[[放射率]]'''（{{en|emissivity}}）、もしくは'''射出率'''と呼ばれる。厳密には放射率は波長に依存するため、この関係は近似的なものである。
 
放出されるエネルギーを[[放射輝度]] {{mvar|L}} で表せば
という関係が成り立つ。比例係数&sigma;を'''シュテファン=ボルツマン定数'''（ステファン=ボルツマン定数）という。この定数&sigma;の値は[[光速度]]''c'' 、[[プランク定数]]''h'' 、[[ボルツマン定数]]''k'' から導くことができ、次の通りである<ref>[http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Category?view=pdf&All+values.x=42&All+values.y=19 Fundamental Physical Constants]</ref>。
{{Indent|
<math>L =\frac{1}{\pi}I =\frac{\sigma}{\pi} T^4</math>
}}
となる。
空間に放出された電磁波の[[エネルギー密度]] {{mvar|u}} で表せば
{{Indent|
<math>u =\frac{4}{c}I =\frac{4\sigma}{c} T^4</math>
}}
となる。
 
== シュテファン=ボルツマン定数 ==
{{Indent|<math>\sigma = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} = 5.670 373(21) \times 10^{-8} \, \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4}</math>}}
{{物理定数
|名称 = シュテファン=ボルツマン定数
|英語 = Stefan-Boltzmann constant
|記号 = {{mvar|&sigma;}}
|値 = {{val|5.670373|(21)|e=-8|u=W m{{sup-|2}} K{{sup-|4}}}} <ref name="nist"/>
|不確かさ = 3.6{{e-|6}}
|語源 = [[ヨーゼフ・シュテファン]]<br/>[[ルートヴィッヒ・ボルツマン]]
}}
'''シュテファン=ボルツマン定数'''は、シュテファン=ボルツマンの法則において、黒体の温度と[[放射発散度]]を結びつける[[物理定数]]である。
記号は通常 {{mvar|&sigma;}} が用いられる。
シュテファン=ボルツマン定数は[[プランクの法則]]により他の普遍定数と理論的に関係付けられている。
その値は
{{Indent|
<math>\sigma =\frac{2\pi^5k^4}{15 c^2 h^3}
=5.670\ 373(21)\times 10^{-8}\ \text{W}\ \text{m}^{-2}\ \text{K}^{-4}</math>
}}
である（CODATA2010推奨値<ref name="nist">[[#nist|CODATA Value]]</ref>）。ここで {{mvar|c}} は[[光速度]]、{{mvar|h}} は[[プランク定数]]、{{mvar|k}} は[[ボルツマン定数]]である。
 
[[放射輝度]]との関係として表した時の係数は
実際の物体は黒体であるとは限らない。その場合, シュテファン=ボルツマンの法則は以下のように修正される:
{{Indent|
{{Indent|<math> I = \epsilon \sigma T^4 </math>}}
<math>\frac{\sigma}{\pi} =1.804\times 10^{-8}\ \text{W}\ \text{m}^{-2}\ \text{sr}^{-2}\ \text{K}^{-4}</math>
&epsilon;は0以上1以下の定数であり, [[放射率]]もしくは射出率 (emissivity)と呼ばれる。厳密には, 放射率は波長に依存するため, 上式のような関係は近似的なものである。
}}
となる。また、[[エネルギー密度]]との関係として表した時の係数は
{{Indent|
<math>\frac{4\sigma}{c} =7.566\times 10^{-16}\ \text{J}\ \text{m}^{-3}\ \text{K}^{-4}</math>
}}
となる。
 
== 熱力学からの導出 ==
この法則は[[光子気体]]のエネルギー密度 {{mvar|u}} と[[圧力]] {{mvar|p}} の関係
{{Indent|
<math>p=\frac{u}{3}</math>
}}
から導くことができる。熱力学的な関係式
{{Indent|
<math>\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T
=T\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V -p</math>
}}
に代入することで微分方程式
{{Indent|
<math>\frac{du}{dT} =\frac{4u}{T}</math>
}}
が得られる。これを解くことで
{{Indent|
<math>u\propto T^4</math>
}}
が導かれる。
 
== プランクの放射公式からの導出 ==
59 ⟶ 114行目:
== 応用例 ==
=== 太陽の表面温度の導出 ===
この法則を用いて、[[太陽]]の表面[[温度]]を導く概算することができる。
シュテファン自身もこの法則を用いて、太陽の表面温度を約6000℃と推定している<ref name="jiten">[[#jiten|『物理学辞典』]] p.994</ref>。
 
太陽が時間あたりに放出する電磁波の表面[[温放射エネルギー]]（全[[放射束]]、天文学における[[光度 (天文学)|光度]]を''T''）{{math|{{mvar|L}}{{sub|s}}}} は、太陽の[[半径]]を''r'' {{math|{{mvar|R}}{{sub|s}}}} とすると、太陽の[[表面積]]は {{math|4&pi;''r''<{{mvar|R}}{{sub|s}}{{sup>|2</sup>}}}} なので、太陽が1秒間に放出すを黒体である電磁波の全エネルギー ''E''<sub>1</sub> はと仮定して、シュテファン=ボルツマンの法則より、太陽の表面温度を {{mvar|T}} として
{{Indent|
{{Indent|<math>E_1 = \sigma T^4 \times 4\pi r^2 </math>
<math>L_\text{s} =4\pi {R_\text{s}}^2 \times \sigma T^4</math>
}}
と計算でき表される。
 
地球付近で太陽の方向に向いた面への[[放射照度]] {{mvar|E}} は[[太陽定数]]と呼ばれる量で、大気圏外の人工衛星による観測でその値が知られている。
[[地球]]と太陽の距離を''R'' とすると、太陽から放出された電磁波は地球に届くまでに、電磁波が表面積 4&pi;''R''<sup>2</sup> の球状の範囲にまで広がっている。電磁波が全方向へ均等に広がると仮定すると、''E''<sub>1</sub> を表面積 4&pi;''R''<sup>2</sup> で割ることにより、地球付近での単位面積当たりのエネルギー ''E''<sub>2</sub> が導ける。
太陽と[[地球]]の距離を {{mvar|a}} とすると、放射照度の[[放射強度]] {{mvar|I}} への換算は
{{Indent|
<math>I =a^2E</math>
<math>E_2 = \frac{\sigma T^4 \times 4\pi r^2}{4\pi R^2} = \sigma T^4 \times \frac{r^2}{R^2}</math>
}}
となる。放射強度を全ての方向について足し合わせれば全[[放射束]]となる。太陽が全ての方向へ等しく放出していると考えれば、全[[立体角]] {{math|4&pi;}} をかけて
これは[[太陽定数]]と呼ばれる値であり、およそ ''E''<sub>2</sub> = 1.37&times;10<sup>3</sup> W/m<sup>2</sup>である<ref name="rika">{{Cite book |author=[[国立天文台]]編 |year=2010 |title=[[理科年表]] 平成23年 |publisher=[[丸善]] }}</ref>ことが大気圏外の人工衛星による観測で分かっている。
{{Indent|
<math>L_\text{s} =4\pi I =4\pi a^2 E</math>
}}
となる。
従って太陽の表面温度は
{{Indent|
<math>T =\sqrt[4]{\frac{E}{\sigma} \frac{a^2}{{R_\text{s}}^2}}</math>
}}
と表される。
 
それぞれの定数の値<ref name="rika">[[#rika|『理科年表』]]</ref>、太陽定数 {{mvar|E}}={{val|1.37|e=3|u=W/m{{sup|2}}}}、[[軌道長半径]] {{mvar|a}}={{val|1.496|e=11|u=m}}、太陽半径 {{math|{{mvar|R}}{{sub|s}}}}={{val|6.960|e=8|u=m}} を代入すれば、表面温度は
したがって、''r'' = 6.960&times;10<sup>8</sup> m<ref name="rika" />、''R'' = 1.496&times;10<sup>11</sup> m（[[軌道長半径]]）<ref name="rika" />を代入し、''T'' を求めると、
{{Indent|
 
{{Indent|<math> T = \sqrt[4]{\frac{E_2 \, R^2}{\sigma \, r^2}} \simeq 5780\, \mathrmtext{K}</math>}}
}}
 
である事が分かと計算される。
 
ヨーゼフ・シュテファンはこの法則を用いて、太陽の表面温度を約6000℃と推定した<ref>{{Cite book |author=物理学辞典編集委員会 |year=2005 |month=9 |title=物理学辞典 三訂版 |"page=994" |publisher=培風館 }}</ref>。
 
== 脚注 ==
<references group="脚注" />
 
== 参考文献出典 ==
<references />
 
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=[[国立天文台]] 編
|title=[[理科年表]] 平成23年
|publisher=[[丸善]]
|year=2010
|ref=rika
}}
* {{Cite book|和書
|author=物理学辞典編集委員会
|year=2005
|month=9
|title=物理学辞典
|edition=三訂版
|publisher=培風館
|ref=jiten
}}
== 関連項目 ==
* [[キルヒホッフの法則 (放射エネルギー)]]
93 ⟶ 175行目:
* [[レイリー・ジーンズの法則]]
* [[佐久間＝服部方程式]]（[[:en:Sakuma-Hattori equation|en]]）
{{DEFAULTSORT:しゆてふあんほるつまんのほうそく}}
 
== 外部リンク ==
* {{Cite web
|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?sigma
|title=CODATA Value: Stefan-Boltzmann constant
|accessdate=2014-12-13
|publisher=NIST
|ref=nist
}}
 
{{DEFAULTSORT:しゆてふあんほるつまんのほうそく}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:熱放射]]
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