「リーマン曲率テンソル」の版間の差分
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I.hidekazu (会話 | 投稿記録) 曲率スカラーの定義を記載。他修正。 |
I.hidekazu (会話 | 投稿記録) リッチテンソルの行列式を用いた表示について記載した。 |
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[[リーマン幾何学]]において'''リーマン曲率テンソル'''（リーマンきょくりつテンソル、{{lang-en-short|Riemann curvature tensor}}）あるいは'''リーマン-クリストッフェルのテンソル'''（{{lang-en-short|Riemann–Christoffel tensor}}）とは、[[リーマン多様体]]の[[曲率]]を表す
リーマン-クリストッフェルのテンソル（リーマン曲率テンソル）は[[重力]]の現代的理論である[[一般相対性理論]]における数学的な道具の中心となるものである。
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=== リッチテンソル（Ricci tensor） ===
さらに、リーマン-クリストッフェルテンソル <math>R_{k j i h}</math> に <math>g^{k h}</math> を掛けて縮約またはリーマン曲率テンソルを単に縮約した２階共変テンソル
:<math>R_{j i} = \sum_{k h} g^{k h} R_{k j i h} = \sum_a R_{a j i}{}^a</math>
を'''リッチテンソル'''（Ricci tensor）と呼ぶ。
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== テンソルの性質 ==
=== （３階共変１階反変）リーマン曲率テンソル <math>R_{k j i}{}^h</math> の性質 ===
:<math>R_{k j i}{}^h = - R_{j k i}{}^h</math>
:<math>R_{k j i}{}^h + R_{i k j}{}^h + R_{j i k}{}^h = 0</math>
;ビアンキの公式（Bianchi formula）
:<math>\nabla_l R_{k j i}{}^h + \nabla_j R_{l k i}{}^h + \nabla_k R_{j l i}{}^h = 0</math>
=== リッチテンソル <math>R_{j i}</math> の表示 ===
リッチテンソルの定義より
:<math>
\begin{align}
R_{j i} &= \sum_a R_{a j i}{}^a = \sum_a \left( \frac{\partial \left\{ { {a}\atop{j i} } \right\} }{\partial x^a} - \frac{\partial \left\{ { {a}\atop{a i} } \right\} }{\partial x^j} + \sum_b \left\{ { {a}\atop{a b} } \right\}\left\{ { {b}\atop{j i} } \right\} - \sum_b \left\{ { {a}\atop{j b} } \right\}\left\{ { {b}\atop{a i} } \right\} \right) \\
&= \sum_a \left( \frac{\partial \left\{ { {a}\atop{j i} } \right\} }{\partial x^a} - \sum_b \left\{ { {a}\atop{j b} } \right\}\left\{ { {b}\atop{a i} } \right\} \right) + \sum_a \left(- \frac{\partial \left\{ { {a}\atop{a i} } \right\} }{\partial x^j} + \sum_b \left\{ { {a}\atop{a b} } \right\}\left\{ { {b}\atop{j i} } \right\} \right)
\end{align}
</math>
したがって、
:<math>A_{j i} =\sum_a \left( \frac{\partial \left\{ { {a}\atop{j i} } \right\} }{\partial x^a} - \sum_b \left\{ { {a}\atop{j b} } \right\}\left\{ { {b}\atop{a i} } \right\} \right) , \;\; B_{j i} = \sum_a \left(- \frac{\partial \left\{ { {a}\atop{a i} } \right\} }{\partial x^j} + \sum_b \left\{ { {a}\atop{a b} } \right\}\left\{ { {b}\atop{j i} } \right\} \right)</math>
と置くと、当然 <math>R_{j i} = A_{j i} + B_{j i}</math> となるが、B<sub>j i</sub> について、g = det(g<sub>a b</sub>) とすると
:<math>\sum_a \left\{ { {a}\atop{a k} } \right\} = \frac{\partial \log \sqrt{g}}{\partial x^k}</math>
{{see also|クリストッフェル記号#基本計量テンソルの行列式による表示}}
であることから、
:<math>B_{j i} = - \frac{\partial^2 \log \sqrt{g} }{\partial x^j \partial x^i} + \sum_b \frac{\partial \log \sqrt{g}}{\partial x^b} \left\{ { {b}\atop{j i} } \right\}</math>
を得る。したがって、<math>\frac{\partial g}{\partial x^k} = 0</math> のときは、
:<math>R_{j i} = A_{j i}</math>
となる。
== 対称性・恒等式 ==
リーマン曲率テンソルは次の対称性
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