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1行目: {{統計力学}} [[Image:FD e mu.jpg\|thumb\|right\|256px\|温度を変えたフェルミ分布関数]] '''フェルミ分布関数'''（フェルミぶんぷかんすう、{{Lang-en\|Fermi distribution function}}）とは、相互作用のない[[フェルミ粒子]]の系において、一つの[[エネルギー準位]]にある粒子の数（[[占有数]]）の分布を与える理論式である<ref name=sinka>東京大学　知の構造化センター「物性物理学入門 (進化する教科書 Wiki)」[http://utht.t.u-tokyo.ac.jp:8080/mediawiki/index.php/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E5%88%86%E5%B8%83%E3%81%A8%E7%8A%B6%E6%85%8B%E5%AF%86%E5%BA%A6]</ref>。フェルミ・ディラック分布とも呼ばれる。▼ ~~'''フェルミ分布関数'''（フェルミぶんぷかんすう、Fermi distribution function）~~ ▲<ref name=sinka>東京大学　知の構造化センター「物性物理学入門 (進化する教科書 Wiki)」[http://utht.t.u-tokyo.ac.jp:8080/mediawiki/index.php/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E5%88%86%E5%B8%83%E3%81%A8%E7%8A%B6%E6%85%8B%E5%AF%86%E5%BA%A6]</ref> ~~はフェルミ・ディラック分布関数とも呼ばれ、相互作用のないフェルミ粒子の占有数の[[分布関数]]である。~~ エネルギーが {{mvar\|ε}} に等しい準位の占有数を与えるフェルミ分布関数は一粒子状態<math>\|\psi_\nu\rang</math> の占有数<math>n_\nu</math>の統計的期待値<math>\lang n_\nu \rang</math>はエネルギー<math>\varepsilon</math> の関数として、以下の式で表される。 {{Indent\| ~~:<math> \lang n_\nu(\varepsilon) \rang = \, {1 \over {\exp\left\{ {1 \over {k_B T} } (\varepsilon - \mu)\right\} + 1 } } </math>~~ <math>f(\epsilon) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon-\mu)} +1}</math> ~~ここで<math> k_B </math>は[[ボルツマン定数]]、<math> T </math>は[[絶対温度]]、<math> \mu </math>は[[化学ポテンシャル]]（ケミカルポテンシャル）である。~~ }} で表される。パラメータ {{mvar\|β}} は系の[[温度]]と解釈され、[[熱力学温度]] {{mvar\|T}} と {{math\|''β''=1/''kT''}} で関係付けられる[[逆温度]]である。{{mvar\|μ}} は系の[[化学ポテンシャル]]である。 [[絶対零度]]（{{math\|''T''→0}}、{{math\|''β''→∞}}）の極限では、フェルミ分布関数は[[ヘヴィサイドの階段関数]]を用いて絶対零度( <math>T=0</math> K)では <math>\mu</math> は[[フェルミエネルギー\|フェルミ準位]] <math>\varepsilon_F</math> と等しく、その時の <math>\lang n_\nu(\varepsilon) \rang </math> は {{Indent\| <math>\lim_{\beta\to\infty}f(\epsilon) =\theta(\mu -\epsilon) = \begin{cases} 1 & (\epsilon < \mu) \\ 0 & (\epsilon > \mu) \\ \end{cases}</math> }} となる。このときの化学ポテンシャルは[[フェルミエネルギー]]に等しい。 [[量子数]] {{mvar\|ν}} で指定される準位のエネルギーを {{mvar\|ε{{sub\|ν}}}} とすれば、このエネルギー準位の占有数 {{mvar\|n{{sub\|ν}}}} の統計的期待値は ~~:<math> \lang n_\nu(\varepsilon) \rang = 1 \ \ \mathrm{for} \ \ ({\varepsilon} < {\varepsilon}_{F}) </math>~~ {{Indent\| ~~:<math> \lang n_\nu(\varepsilon) \rang = 0 \ \ \mathrm{for} \ \ ({\varepsilon} > {\varepsilon}_{F}) </math>~~ <math>\langle n_\nu \rangle =f(\epsilon_\nu)</math> }} ~~の[[ステップ関数\|階段関数]]と近似できる。~~ で与えられる。フェルミ分布関数は0から1の間の値をとる。これは[[パウリの排他原理]]によりフェルミ粒子が一つの準位には一つまでしか入らないことを反映している。 ==関連項目== * [[フェルミ縮退]] * [[ボルツマン分布]]、[[ボース分布関数]] * [[状態密度]] * [[シグモイド関数]] ==参考文献== <references/> ~~[[Category~~{{DEFAULTSORT:~~統計力学\|~~ふえるみふんふかんすう]]}} [[Category:量子統計力学~~\|ふえるみふんふかんすう~~]] [[Category:~~特殊関数\|ふえるみふんふかんすう~~量子力学]] [[Category:~~数学に~~特殊関~~する記事\|ふえるみふんふかんすう~~数]] [[Category:数学に関する記事]]

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