「変分法 (解析力学)」の版間の差分

'''変分法''' （へんぶんほう、{{lang-en-short|Variational method, Calculus of variations）variations}}）は、[[関数 (数学)|関数]]を取り[[値]]を返す関数である[[汎関数]]（functional）の[[微分]]に関する手法である。[[解析力学]]における重要な方程式は[[最小作用の原理]]を元に変分法を用いて導出される。

ある多体系において、規格化、直交性などの条件の下で任意に選んだ試行関数（変分関数とも言う。ここでは多体の波動関数）を、 {{math|Ψ<SUBsub>trial</SUBsub>}} とする。試行関数はいろいろな選び方があるがここでは、{{math|Ψ<SUBsub>trial</SUBsub>}} は、系を記述する厳密な[[固有関数]]（波動関数）Ψ）{{math|Ψ<SUBsub>''i''</SUBsub>}} の展開で記述できるとする。

:<math> \Psi_\mathrm{trial} = \alpha_0 \Psi_0 + \alpha_1 \Psi_1 + \alpha_2 \Psi_2 + \cdots </math>

ここで、{{math|Ψ<SUBsub>0</SUBsub>}} を[[基底状態]]の固有関数とする。また、{{math|Ψ<SUBsub>1</SUBsub>、, Ψ<SUBsub>2</SUBsub>・・・, ...}} は[[励起状態]]の固有関数である。系の[[ハミルトニアン]]を {{mvar|H}} として、{{mvar|H}} に対する {{math|Ψ<SUBsub>''i''</SUBsub>}} に対応する[[固有値]]を {{mvar|E<SUBsub>i</SUBsub>}} とすると、試行関数 {{math|Ψ<SUBsub>trial</SUBsub>}} の固有値 {{math|''E''<SUBsub>trial</SUBsub>}} は、

:<math> \left\langle \Psi_\mathrm{trial} |, H | \Psi_\mathrm{trial} \right\rangle = E_\mathrm{trial} </math>

となる。この時、試行関数の固有値は、必ず基底状態の固有値 {{math|''E''<SUBsub>0</SUBsub>}}（これがこの場合の厳密の解）に等しいかエネルギー的により高い値となる。そして、展開係数である {{mvar|α<SUBsub>i</SUBsub>}} を調節して {{math|''E''<SUBsub>trial</SUBsub>}} の最小値（最適値）E）{{math|''E''<SUBsub>opt</SUBsub>}} を求める。これが試行関数を使った変分法の手順である。この場合の最適値 {{math|''E''<SUBsub>opt</SUBsub>}} も、真の固有値 {{math|''E''<SUBsub>exact</SUBsub> ({{=}} ''E''<SUBsub>0</SUBsub>)}} に対し、

:<math> E_\mathrm{opt} \ge E_\mathrm{exact} </math>

となる。これが満たされない場合、その変分計算は正しくない。以上では、試行関数は厳密な解としての {{math|Ψ<SUBsub>0</SUBsub>}} を含むという特殊な場合である。実際の計算では厳密な解が存在し得られない場合がほとんどである。尚、以上に出てくる固有値は、系の[[全エネルギー]]と置き換えて考えても良い。変分法の結果の良し悪しが、試行関数の選び方に強く依存する場合がある。

* {{cite book | 和書 | author=日本数学会 『| title=岩波数学辞典（ |edition =第 3 版）』 | publisher=岩波書店、 | date=1985年。ISBN | isbn=4000800167 | ref=岩波数学辞典}}

* {{cite book | 和書 | authorlast=戸川 | first=隼人 | title=変分法と有限要素法 | publisher=日本評論社 | yeardate=1994 | ref=harv}}

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