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22行目:
[[数直線]]上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は[[正規分布]]で示される。
 
しかし、点が正の領域にいる時間の割合<math>x</math>の分布は、<math>\frac{1/}{\pi \sqrt{x(1-x)} }</math>の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は<math>1-x</math>）。これは<math>x=0</math>および<math>x=1</math>で無限大に発散するグラフである。
 
すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる<ref>[http://www.nara-wu.ac.jp/initiative-MPI/images/H18/nwu_only/Kosugi-12.4file.pdf ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―]小杉のぶ子（東京海洋大学 海洋工学部）</ref><ref>[http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~nagahata/20070816/arcsin.pdf ”つき”の数理-逆正弦法則について]大阪大学基礎工学研究科会田研究室</ref>。
 
== 基本的性質 ==
# 再帰性
#: 再帰性<div>1 または 2 次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3 次元以上のランダムウォークは非再帰的である。<ref>[http://user.numazu-ct.ac.jp/~hmatsu/resume14.pdf ランダムウォーク]</ref><ref>[http://www7b.biglobe.ne.jp/~fukagawa/documents/randomwalk.pdf 電気回路とランダム・ウォーク]2002年3月17日 確率統計委員会・深川久（豊中高校）</ref></div>
# Donsker の定理の系<div>''X''<sub>''n''</sub> (''n'' = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、<div style="text-indent:1em"><math>S_t = S_n \mbox{ if } t = n , \mbox{ linear } \mbox{ if } n < t < n + 1 </math></div>で定義すると、各 ''t'' ≧ 0 に対して次が成立する。<div style="text-indent:1em"><math>P ( | \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t | < \varepsilon ) \rightarrow 0 \mbox{ for all } \varepsilon > 0 </math></div></div>
# Donsker の定理の系
#: ''X''<sub>''n''</sub> (''n'' = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
#:: <math>S_t = S_n \quad \mbox{ if } t = n , \quad \mbox{ linear } \mbox{ if } n < t < n + 1 </math>
#: で定義すると、各 ''t'' ≧ 0 に対して次が成立する。
#:: <math>P \left( \left| \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t \right| < \varepsilon \right) \rightarrow 0 \quad \mbox{ for all } \varepsilon > 0 </math>
 
== 応用 ==
; レビのダスト
: 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が[[冪級数]]で与えられるようなランダムウォーク。
 
; 自己回避ランダムウォーク<ref>[http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~j_inoue/JIKKEN2006/jikken_fractal2006.pdf 確率モデルを用いたフラクタル図形の作成]複雑系工学講座 混沌系工学研究室 井上純一</ref>
: 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。[[高分子]]の幾何学的構造<ref>[http://ccmp1.phys.metro-u.ac.jp/ccmp/member/okabe/text/pilot01.pdf ランダムウォークと統計力学]岡部豊</ref>、海岸線などのモデル（[[自己相似]]）として利用されている。
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