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{{電磁気学}}
'''電磁ポテンシャル'''（でんじポテンシャル）とは、[[電磁場]]のポテンシャル概念で、[[スカラーポテンシャル]]と[[ベクトルポテンシャル]]の総称である。
[[物理学]]、特に[[電磁気学]]とその応用分野で使われる。
以下断りがない限り、[[古典電磁気学]]のケースを想定して説明する。
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<math>\boldsymbol{B} = \nabla\times \boldsymbol{A}</math>
}}
を満たすように選ぶと拘束条件 (M1) は[[ベクトル解析]]の恒等式により自動的に満たされる。この関数 <math>\phi,\boldsymbol{A}</math> の組が'''電磁ポテンシャル'''である。スカラー値関数 <math>\phi</math> は'''スカラーポテンシャル'''、ベクトル値関数 <math>\boldsymbol{A}</math> は'''ベクトルポテンシャル'''と呼ばれる。
電場の強度と磁束密度からスカラー
電磁場は電磁ポテンシャルの一階の[[微分方程式]]で定義される為、電磁ポテンシャルには不定性が生じる。この不定性によりポテンシャルを変化させる操作は'''[[ゲージ変換]]'''と呼ばれる。
電磁場をラグランジュ形式で記述する時、ラグランジアンは電磁場ではなく電磁ポテンシャルを用いてかかれる
[[古典電磁気学]]では、観測にかかる本質的な物理量は[[電場]]や[[磁場]]であって、ベクトルポテンシャルやスカラーポテンシャルは便宜的に導入された道具に
スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは[[ローレンツ変換]]の下で
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<math>A^\mu(x) = ( \phi(t,\boldsymbol{x})/c, \boldsymbol{A}(t,\boldsymbol{x}))</math>
}}
として[[4元ベクトル]]的に変換する。ここで c は[[光速]]で次元を揃える為の換算係数である。
特に4元ベクトルとしての電磁ポテンシャルは'''4元ポテンシャル'''と呼ばれ、[[相対性理論]]においては、この4元ポテンシャルで記述される。
ゲージ変換から場の量子論へと発展され、'''[[ゲージ理論]]'''となった。ゲージ理論としてみると、電磁ポテンシャルは U(1) ゲージ対称性に対する[[ゲージ場]]である。
== 真空中における電磁場の電磁ポテンシャルによる記述 ==
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}}
である。
この式に電磁場の定義式(M0)を代入すると、
{{Indent|(M2'-a) :
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が得られる。したがって電磁ポテンシャルを基本的な量として電磁気的現象を記述する場合には式(M2')が場の運動を決定する方程式となる。
後にヘルツによって電磁ポテンシャルが消去され、式(M1)を電磁場の拘束条件とするようになった。
== ポテンシャルの概念 ==
電磁ポテンシャルの概念を説明する為に、まずその関連概念である電位の概念を振り返る。
'''[[電位]]'''（'''静電ポテンシャル'''とも称す）とは、電場に対するポテンシャル概念で、
電場を<math>\boldsymbol{E}</math>で表す時、電位は
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を満たす関数φ(x,y,z)として定義される。ここで(x,y,z)は空間上の任意の点である。
'''静磁場の場合は'''そのようなφが存在する事が知られており、φ（x,y,z）は<math>\boldsymbol{E}</math>の[[線積分]]として計算される。
しかしながら静磁場という条件がない時は、磁場が電場を誘導する関係上、
(a)を満たすφ(x,y,z)は存在せず、電位の概念が一般には定義できない事が知られている。実際、<math>\boldsymbol{E}</math>の線積分をφ(x,y,z)として定義しようとしても、積分経路によって磁場が誘導する電場の大きさが異なる為、積分の値が積分経路に依存してしまう。
電位φ(x,y,z)は空間上の位置(x,y,z)（と時刻t）のみによって一意に決まる事を要請しており、値が積分経路に依存してしまうのでは電位の定義を満たしていない。また電位は電場に対するポテンシャル概念であり、磁場に対するポテンシャル概念ではない。
「スカラー・ポテンシャル」と「ベクトル・ポテンシャル」の総称である<ref>「スカラーポテンシャル」、「ベクトルポテンシャル」という言葉はそれぞれスカラー、ベクトルを用いて表せるポテンシャル概念一般を表す場合もあるので注意が必要である。本項目では特に断りがない限り、これらの言葉は電磁ポテンシャルのものを表すものとする。</ref>。▼
▲'''電磁ポテンシャル'''は、静磁場とは限らない場合にも定義できるポテンシャル概念である「スカラー・ポテンシャル」と「ベクトル・ポテンシャル」の総称である<ref>「スカラーポテンシャル」、「ベクトルポテンシャル」という言葉はそれぞれスカラー、ベクトルを用いて表せるポテンシャル概念一般を表す場合も
'''スカラー・ポテンシャル'''は電
スカラー・ポテンシャルは電位と同様、空間上の各点(x,y,z)（と時刻t）に1成分の実数を対応させる関数（ないしその関数値）であり、電位と同じくφ(x,y,z)で表す。一方'''ベクトル・ポテンシャル'''は磁場に対するポテンシャル概念で、空間上の各点(x,y,z)（と時刻t）に3成分の実数
<math>\boldsymbol{A}(x,y,z)=(A_1(x,y,z),A_2(x,y,z),A_3(x,y,z))</math>
を対応させる関数（ないしその関数値）である。
以下紛れのない限り、引数の(x,y,z)は省略する。
静磁場の場合はスカラーポテンシャルは(a)を満たす（ようにもできる）
なお、静磁場において電場に対する電位が一意に定まらず定数分だけの自由度があるように、
電磁場に対する電磁ポテンシャルも一意には定まらない
== ポテンシャルの導入 ==
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を満たすベクトルポテンシャル <math>\boldsymbol{A}</math> が存在することが言える<ref>条件式(M0-b)には ∇ が登場するので、'''A''' は空間方向には可微分であるが、時間方向については何も言っていないので、原理的には時間方向には不連続になるように選ぶ事も可能である。しかし後述するスカラーポテンシャルを導入するとき、時間方向の可微分性を必要とする。以下、空間方向・時間方向双方に対して無限回可微分な '''A''' を選んだものとして議論を進める。</ref>。
なお、条件式(M0-b)を満たすベクトル値関数は一つではないので、ベクトルポテンシャルは一意に定まらない。(M0-b)を満たす関数の中から任意に選んだ一つをベクトルポテンシャルとして定める。
次に2つ目の拘束条件
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を満たすスカラーポテンシャル <math>\phi</math> が存在することが言える。
これを移項して
{{Indent|(M0-a) :
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}}
が得られる。
スカラー値関数 φ には定数分の自由度があり、一意に定まらない。そこで(M0-b)を満たすものの中から任意に選んだ1つをスカラー・ポテンシャルとして定める。なお、条件式(M0-b)はスカラーポテンシャルだけでなくベクトルポテンシャルにも依存しているので、スカラーポテンシャルは（複数ある）ベクトルポテンシャルのうち1つを定めてはじめて定義できる。従って、スカラーポテンシャルはベクトルポテンシャルと組にして初めて意味をなす概念である。
静磁場における電位の場合と同様の議論により、
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: <math> \phi(x,y,z) = - \int_C \left( \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d}s </math> ＋定数
が成り立つ事が言える。ここで''C'' は基点と(x,y,z)とを結ぶ任意の経路である。右辺の値は経路''C'' に依存しない事が言える([[電位]]の項目も参照）。
<!-- 静磁場とはB=0ではない
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したがって関係式(G)はスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルの選び方の自由度を完全に特徴づけている。
以上のようにスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルは一意ではないので、さらに条件（'''ゲージ固定条件'''）を課す事で一意に定める事がある。
詳細については後述する。
==== 証明 ====
上述した自由度の特徴づけを証明する。
前半は簡単な計算から従うので、後半のみを示す。ポテンシャルの満たすべき条件式(M0)を満たす
<math>(\phi_1,\boldsymbol{A}_1)</math>、<math>(\phi_2,\boldsymbol{A}_2)</math>を考える。
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<math>\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\frac{\mu_0}{4 \pi}\int \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}'|}d^3 x'</math>
}}
この方法を用いてポテンシャルを求める場合には、電荷・電流密度の全領域における分布を知る必要がある
== 相対論的な記述 ==
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が得られる。
相互作用項は一般に
{{Indent|
352 ⟶ 342行目:
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に対して電磁場は変化しない。
実際に定義式(M0)に代入すると、
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362 ⟶ 353行目:
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となり、元の電磁場に一致する。
電磁場を不変に保つこの変換をゲージ変換と言う。
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となる。
スカラーポテンシャルは常にゲージ変換によって {{nowrap|1=φ = 0}} とすることが可能である。しかしベクトルポテンシャルは一般には {{nowrap|1='''A''' = '''0'''}} とすることは不可能である。
=== ローレンツゲージ ===
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<math>\partial_\mu A^\mu =0</math>
}}
この条件式をローレンツ条件という。ローレンツ条件は[[連続の方程式]]の形をしており、[[ローレンツ変換]]に対して不変な形になっている。この条件式を満たす電磁ポテンシャルを用いてマクスウェルの方程式を書き換えると、以下の非斉次の[[波動方程式]]が得られる。▼
▲この条件式を満たす電磁ポテンシャルを用いてマクスウェルの方程式を書き換えると、以下の非斉次の[[波動方程式]]が得られる。
{{Indent|
<math>\partial_\nu \partial^\nu A^\mu =\square A^\mu = \mu_0 j^\mu</math>
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* <math>\nabla \cdot \boldsymbol{A}=0</math>
を同時に満たすゲージを選ぶことが可能である。
このゲージはローレンツゲージであり、かつ、クーロンゲージである。このとき、電磁ポテンシャルの満たすべき方程式は、
* <math>\square\boldsymbol{A}=0</math>
である。
波動方程式の解として
{{Indent|<math>\boldsymbol{A} (\boldsymbol{x},t) = \boldsymbol{e} A \mathrm{exp} [i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t)]</math>}}
を考える。
すると、
{{Indent|<math>\nabla \cdot \boldsymbol{A} = i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{A}=0</math>}}
435 ⟶ 426行目:
* <math>\boldsymbol{B} (\boldsymbol{x},t) = \nabla \times \boldsymbol{A} = i\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{A} (\boldsymbol{x},t)</math>
である。電場の方向はベクトルポテンシャルと平行なので、やはり波の進行方向と直交している。磁場の方向は電場の方向と波の進行方向の両方に直交している。
電磁波は電場と磁場が互いに直交して進む横波である。
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