「終域」の版間の差分
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[[File:Codomain2.SVG|right|thumb|250px|A function {{math|'''f'''}} from {{math|'''X'''}} to {{math|'''Y'''}}. The smaller oval inside {{math|'''Y'''}} is the [[image (mathematics)|image]] of {{math|'''f'''}}. {{math|'''Y'''}} is the codomain of {{math|'''f'''}}.]]
[[数学]]において[[写像]]の'''終域'''（しゅういき、{{lang-en-short|'''codomain'''}}; 余域）あるいは'''終集合'''（しゅうしゅうごう、{{lang-en-short|'''target set'''}}）は、写像を {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} と表すときの[[集合]] {{mvar|Y}}、すなわち写像 {{mvar|f}} の出力する値がその中に属するべきという制約を定める集合をいう。終域の代わりに「値域」という語を用いる場合もあるが、[[値域]]は写像の[[像 (数学)|像]]（出力される値すべてからなる集合、{{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} で言えば {{math|''f''(''X'')}}）の意味で用いることが多いので注意すべきである。
== 定義と注意 ==
さて {{harvtxt|Bourbaki|1954}} の意味で写像（[[函数]]）を定義するのであれば、終域は写像 {{mvar|f}} の一部として含まれる<ref>{{cite book |title=Elements de Mathematique,Theorie des Ensembles |author=N.Bourbaki |authorlink=Nicolas Bourbaki |publisher=Hermann & cie |page=76 |year=1954}}</ref>。即ち、写像 {{mvar|f}} とは[[タプル|三つ組]] {{math|(''X'', ''Y'', ''F'')}} であって {{mvar|F}} が[[デカルト積|直積集合]] {{math|''X'' × ''Y''}} の函数的部分集合（すなわち[[二項関係|函数関係]]）<ref>順序対の集合が「函数的」とは、第一成分が一致するような相異なる二つの対が存在しないことをいう [Bourbaki, ''op. cit.'', p. 76]</ref>かつ {{mvar|F}} に属する順序対の第一成分の成す集合（すなわち[[定義域]]）が {{mvar|X}} に一致するものをいう。このとき集合 {{mvar|F}} はこの写像の[[グラフ (函数)|グラフ]]と呼ばれる。また、{{mvar|x}} が写像 {{mvar|f}} の定義域 {{mvar|X}} の元を亙るとき、{{math|''f''(''x'')}} の形に書ける元全てからなる集合を {{mvar|f}} の[[値域]]と呼ぶ。一般に値域は終域の部分集合であって、従って一般には両者は一致しないことが起こり得る。一致する場合（すなわち[[全射]]）でないならば、終域に属する適当な元 {{mvar|y}} に対して、方程式 {{math|1=''f''(''x'') = ''y''}} は解を持たない。
ブルバキはまた別な定義として、「写像」を単に函数的グラフそのものと定め<ref>[Bourbaki, ''op. cit.'', p. 77]</ref>、これはまた広く用いられている定義である<ref>{{Harvnb|Forster|2003}}, [{{Google books|plainurl=y|id=mVeTuaRwWssC|page=10|text=Some mathematical cultures make this explicit, saying that a function}} pages 10–11]</ref>が、これには終域が定義として含まれない。例えば{{仮リンク|集合論|en|set theory|preserve=1}}において、定義域 {{mvar|X}} が[[類 (集合論)|真の類]]であることを許す方が望ましいという場合には、三つ組 {{math|(''X'', ''Y'', ''F'')}} といったものは厳密な意味では存在しないため定義に用いるには不適当だが、グラフによる定義ならば自然である。ただ、文献によっては {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} という見かけ上終域に言及する形で写像を導入していながら、その後は暗黙にこの終域を含めない定義を用いる場合もあるので注意が必要である<ref>{{Harvnb|Eccles|1997}}, [{{Google books|plainurl=y|id=ImCSX_gm40oC|page=91|text=The reader may wonder at this variety of ways of thinking about a function}} quote 1], [{{Google books|plainurl=y|id=ImCSX_gm40oC|page=91|text=When defining a function using a formula it is important to be clear about which sets are the domain and the codomain of the function}} quote 2]</ref><ref>{{Harvnb|Mac Lane|1998}}, [{{Google books|plainurl=y|id=MXboNPdTv7QC|page=8|text=Here "function" means a function with specified domain and specified codomain}} page 8]</ref><ref>Mac Lane, in {{Harvnb|Scott|Jech|1967}}, [{{Google books|plainurl=y|id=5mf4Vckj0gEC|page=232|text=Note explicitly that the notion of function is not that customary in axiomatic set theory}} page 232]</ref><ref>{{Harvnb|Sharma|2004}}, [{{Google books|plainurl=y|id=IGvDpe6hYiQC|page=91|text=Functions as sets of ordered pairs}} page 91]</ref><ref>{{Harvnb|Stewart|Tall|1977}}, [{{Google books|plainurl=y|id=TLelvnIU2sEC|page=89|text=Strictly speaking we cannot talk of 'the' codomain of a function}} page 89]</ref>。
== 値域と終域 ==
=== 例 1 ===
函数
: <math>f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>
を「元の対応」
: <math>f\colon x\mapsto x^2\quad (\text{i.e. }f(x) := x^2)</math>
によって定義するとき、{{mvar|f}} の終域は {{math|'''R'''}} だが、{{mvar|f}} は任意の負の数に写る元を持たない。然るに {{mvar|f}} の値域は非負の数全体 {{math|'''R'''{{sub|≥0}}}}（{{math|'''R'''{{su|b=0|p=+}}}}, 無限半開[[区間 (数学)|区間]] {{math|[0, ∞)}} などとも書く）である。
別な函数 {{mvar|g}} を
: <math>g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+_0;\; x\mapsto x^2</math>
と定める。{{mvar|f}} と {{mvar|g}} は与えられた {{mvar|x}} をまったく同じ数に写すけれども、終域を重視する立場では、終域が異なるから同じ函数とは考えない。このことが意味のある区別であることを見るために、もう一つ函数 {{mvar|h}} を
: <math>h\colon x\mapsto \sqrt x</math>
導入する。{{mvar|h}} が定義されるためには[[定義域]]が {{math|'''R'''{{sub|≥0}}}} （に含まれる）でなければならないから、
: <math>h\colon \mathbb{R}^+_0\to\mathbb{R}</math>
で考えるものとして、[[写像の合成]] {{math|''h'' ∘ ''f''}} および {{math|''h'' ∘ ''g''}} を比較しよう。
このとき {{mvar|f}} の値域はほかで特に言及するのでなければ（{{math|'''R'''}} の部分集合であることだけが分かっているが）未知であるから、{{math|''h'' ∘ ''f''}} が有効であるかどうかも未知である。つまり、{{mvar|h}} を {{mvar|f}} と合成するとき、{{mvar|h}} が値を定義されていない引数（つまり{{仮リンク|平方根函数|en|square root function}} {{mvar|h}} の定義域に属さない負の数）を {{mvar|f}} から受け取る可能性がある。その意味で、写像の合成は合成の右側に来る写像の終域が左に来る写像の定義域に一致する場合のみ有効な概念である（つまり右側の写像の「値域」ではいけない、というのは写像ごとに値域がどうなるかは異なるし、それは合成するという話の段で未知ということが起こり得るから）ということができる。
終域は、写像が[[全射]]か否かということにも関係する。つまり写像が全射であるための必要十分条件はその終域と値域が一致することである。先の例で言えば {{mvar|g}} は全射であり {{mvar|f}} はそうでない。一方、写像が[[単射]]か否かには終域は何も関係しない。
=== 例 2 ===
値域と終域との違いを見るもう一つの例として、[[線型空間]]の間の[[線型写像]]を考えよう。特に {{math|'''R'''{{sup|2}}}} からそれ自身への任意の線型変換を考えれば、それは[[実数]]を成分とする {{math|2 × 2}} [[正方行列]]によって表すことができる。そのような行列はどれも 定義域が {{math|'''R'''{{sup|2}}}} で終域が {{math|'''R'''{{sup|2}}}} であるような写像を表すのだけれども、値域は未知である。値域が終域に一致する変換（これは[[フルランク]]つまり[[行列の階数|階数 {{math|2}}]]の場合）もあれば、そうでなくより小さい[[線型部分空間]]に写る場合（階数 {{math|1}} や {{math|0}} の行列）もある。例えば行列 {{mvar|T}} が
: <math>T = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \end{pmatrix}</math>
で与えられるものとすると、これは点 {{math|(''x'', ''y'')}} を {{math|(''x'', ''x'')}} へ写す線型変換を表す。点 {{math|(2, 3)}} は {{mvar|T}} の値域には属さないが、終域には属する（いまは明示的に {{math|'''R'''{{sup|2}}}} から {{math|'''R'''{{sup|2}}}} への線型変換を考えている。すべての {{math|2 × 2}}-行列がそうであるように、{{mvar|T}} もそのような線型変換を表している）。
値域と終域が異なるということが、しばしば考えている写像の性質を発見するのに有効となり得る。例えば、先の {{mvar|T}} は終域よりも真に小さい値域を持つから、[[フルランク]]ではない。
== 関連項目 ==
* [[値域]]
* [[定義域]]
* [[全射]]
* [[単射]]
* [[全単射]]
== 注意 ==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{citation|title=An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions|first=Peter J.|last= Eccles|publisher=Cambridge University Press|year= 1997|isbn=978-0-521-59718-0}}
*{{citation
|title=Logic, Induction and Sets
|author=Forster, Thomas
|publisher=Cambridge University Press
|year=2003
|isbn=978-0-521-53361-4}}
* {{citation|title=Categories for the working mathematician|first=Saunders|last=Mac Lane|edition=2nd|publisher= Springer|year= 1998|isbn=978-0-387-98403-2}}
* {{citation|title=Axiomatic set theory|series=Symposium in Pure Mathematics|first1= Dana S.|last1=Scott|first2= Thomas J.|last2=Jech|publisher=American Mathematical Society|year=1967|isbn=978-0-8218-0245-8}}
* {{citation|title=Introduction To Set Theory|first=A.K.|last= Sharma|publisher=Discovery Publishing House|year= 2004|isbn=978-81-7141-877-0}}
* {{citation|title=The foundations of mathematics|first1=Ian|last1=Stewart|first2=David Orme|last2= Tall|publisher=Oxford University Press|year= 1977|isbn=978-0-19-853165-4}}
{{DEFAULTSORT:しゆういき}}
[[Category:写像]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:数学に関する記事]]
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