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'''超実数'''（ちょうじっすう、{{lang-en-short|hyperreal number}}）または'''超準実数'''（ちょうじゅんじっすう、{{lang-en-short|nonstandard reals}}）と呼ばれる数の体系は[[無限大]]量や[[無限小]]量を扱う方法の一つである。超実数の全体 {{math|*'''R'''}} は実数体 {{math|'''R'''}} の[[拡大体]]であり、
: <math>1 + 1 + \cdots + 1</math>
の形に書ける如何なる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。{{en|"hyper-real"}} の語は{{仮リンク|エドウィン・ヒューウィイット|en|Edwin Hewitt}}が1948年に導入した<ref>{{citation|first=Edwin |last=Hewitt |date=1948|page=74}}</ref><ref>Keisler (1994).</ref>。
 
超実数は（[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]の経験則的な{{仮リンク|連続の法則|en|Law of Continuity}}を厳密なものにした）{{仮リンク|移行原理|en|Transfer principle}}を満たす。この移行原理が主張するのは、{{math|'''R'''}} についての[[一階述語論理]]の真なる主張は {{math|*'''R'''}} においても真であることである。例えば、加法の[[可換則]] {{math|''x'' + ''y'' {{=}} ''y'' + ''x''}} は、実数におけると全く同様に、超実数に対しても成り立つ。また例えば {{math|'''R'''}} は{{仮リンク|実閉体|en|Real closed field}}であるから、{{math|*'''R'''}} も実閉体である。また、任意の[[整数]] {{mvar|n}} に対して {{math|sin(&pi;''n'') {{=}} 0}} が成立するから、任意の{{仮リンク|超準整数|en|hyperinteger}} {{mvar|H}} に対しても {{math|sin(&pi;''H'') {{=}} 0}} が成立する。超冪に対する移行原理は1955年の{{仮リンク|超積|label=ウォシュの定理|en|Ultraproduct#Łoś's theorem}}の帰結である。
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定冠詞 {{en|the}} を付けて "{{en|the hyperreal numbers}}" と呼ぶことは、言及される大抵の文脈において一意な順序体が存在しないという点で、幾ばくか誤解を招くことになる。しかし、論文 {{harvtxt|Kanovei|Shelah|2003}}<ref name="kanovei2003">{{Citation | last1=Kanovei|first1=Vladimir | last2=Shelah | first2=Saharon | authorlink2=サハロン・シェラハ | title=A definable nonstandard model of the reals| url=http://shelah.logic.at/files/825.pdf| journal=Journal of Symbolic Logic|volume=69|year=2004| pages=159–164 | doi=10.2178/jsl/1080938834}}</ref>は実数体の{{仮リンク|定義可能集合|label=定義可能|en|Definable set}}で{{仮リンク|飽和モデル|label=可算飽和|en|Saturated model}}（{{math|ω}}-飽和）な{{仮リンク|初等拡大|en|elementary extension}}が存在することを示した。これは {{en|''the'' hyperreal numbers}} と呼ぶにふさわしいものであった。よりはっきり言えば、実数列の空間から超冪構成により得られるこの体は（[[連続体仮説]]を仮定すれば）[[同型を除いて]]一意に定まる。
 
超実数体であるという条件は、実数 {{math|'''R'''}} を真に含む{{仮リンク|実閉体|en|Real closed field}}であるという条件よりも強い。また、{{harvtxt|Woodin|Dales|1996}} の意味での{{仮リンク|準超実数|label=準超実体|en|Superreal number}}体 (the super-real numbersfield<ref>the super-real numbers の体系。superreal numbers と呼ばれる体系には、ほかに David Tall によるものもある。参考リンク: http://www.jonhoyle.com/MAAseaway/Infinitesimals.html </ref>)<ref>{{Citation | last1=Woodin | first1=W. H. | authorlink1=ヒュー・ウッディン| last2=Dales | first2=H. G. | title=Super-real fields: totally ordered fields with additional structure | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853991-9 | year=1996}}</ref>であるという条件よりも強い。
 
== 発展 ==
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が成り立つ。これは超準解析を用いた実数体の構成法を与えている。
 
== 超実数体 ==
{{mvar|X}} が{{仮リンク|チコノフ空間|en|Tychonoff space}}（{{math|T<sub>3&frac12;</sub>}}-空間）で {{math|C(''X'')}} を {{mvar|X}} 上の実数値連続函数全体の成す多元環とする。{{math|M}} が {{math|C(''X'')}} の[[極大イデアル]]ならば、[[商環]] {{math|F {{=}} C(''X'')/M}} は実数体 {{math|'''R'''}} を含む全順序体である。{{math|F}} が真に {{math|'''R'''}} に含むとき、（{{harvtxt|Hewwitt|1948}} に従い）{{math|M}} を'''超実イデアル''' (''hyperreal ideal'')、{{math|F}} を'''超実体''' (''hyperreal field'') と呼ぶ。ここでは {{math|F}} の濃度が {{math|'''R'''}} の濃度より真に大きいことを仮定していないことに注意せよ（実際に同じ濃度を取り得る）。
{{節stub}}
 
特に重要な場合は {{mvar|X}} の位相が[[離散位相]]のときである。この場合、{{mvar|X}} はその[[基数]] {{math|κ}} に同一視することができ、{{math|C(''X'')}} は {{math|κ}} から {{math|'''R'''}} への函数全体の成す実多元環 {{math|'''R'''{{sup|&kappa;}}}} に同一視される。このとき得られる超実体は {{math|'''R'''}} の{{仮リンク|超積|label=超冪|en|ultraproduct}} と呼ばれ、モデル論において自由{{仮リンク|超フィルター|en|ultrafilter}}から得られるものと同一である。
 
== 関連項目 ==
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* Jerome Keisler '''''Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach'''''
:* これはキースラーの[http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html 公式ホームページ]で無償で公開されている。特に第一章に超実数の性質が、エピローグにその構成が、それぞれ平易に書かれている。
 
* {{citation | last = Ball | first = W.W. Rouse | authorlink = W. W. Rouse Ball | title = A Short Account of the History of Mathematics | origyear = | url = | edition = 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] | year = 1960 | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-20630-0 | pages = 50–62 }}
* Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", [[American Mathematical Monthly]] 89: 362&ndash;370.
* Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
* {{citation | last1=Jerison | first1=Meyer | last2=Gillman | first2=Leonard | title=Rings of continuous functions | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90198-5 | year=1976}}
*Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
* {{citation | last1=Kleinberg | first1=Eugene M. | last2=Henle | first2=James M. | title=Infinitesimal Calculus | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-42886-4 | year=2003}}
 
== 外部リンク ==
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