|
== 定義 ==
;オイラーによる定義
:''e'' は
:次のような差分を考える。
:<math style="margin-left:2em;">{\Delta_{\Delta x} a^xd \over \Delta xdx} = \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} = \bigg(\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} \bigg), a^x </math>
= \lim_{ \Delta xh\rightarrow 0} \frac{a^{x+ \Delta xh}-a^x}{ \Delta xh} ▼:ここで、
= \bigg( \lim_{ \Delta xh\rightarrow 0} \frac{a^ {\Delta x}h-1}{ \Delta xh} \bigg) a^x ▼:<math style="margin-left:2em;">{\Delta_{\Delta x} a^x \over \Delta x} = a^x </math>
:を満たすような <math>a</math> を <math>e(\Delta x)</math> とすると、
:<math style="margin-left:2em">\frac{e(\Delta x)^{\Delta x}-1}{\Delta x} =1</math>
:<math style="margin-left:2em">e(\Delta x) = (1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}}</math>
:である。
:<math>e</math> は、差分を <math>\Delta x\rightarrow 0</math> とした微分で考えて、
:<math style="margin-left:2em;">{d a^x \over dx}
▲= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}
▲= \bigg( \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} \bigg) a^x
= a^x</math>
:であるを満たすような <math>実数''a</math>'' のことであるからり
:<math style="margin-left:2em">e= \lim_{\Delta xh\rightarrow 0} e(\Delta x) = \lim_frac{\Delta x\rightarrow 0} (1+\Delta x)e^{\frac{h-1}{\Deltah} x}}=1</math>
:とをネイピア数 <math>e</math> をの定義することができるした。
;収束数列による定義
:以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、[[利子]]#連続複利と元利合計|利子の連続複利]]の計算との関連で言及されたものである。
:<math style="margin-left:2em">e=\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>
:元金1を年利1、付利期間を(1/n)年で1年預金すれば、(1/n)年ごとに利子(1/n)で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。 n→∞とした極限は連続複利の元利合計となる。
:オイラーは、導関数がもとの関数と等しい[[指数関数]]の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで ''n'' は[[自然数]]だが、''n'' を[[実数]]として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。
[[ファイル:Ln+e.svg|thumb|right|200px|自然対数の ''e'' における値は 1 である。すなわち ln ''e'' = 1。]]
| 