「閉グラフ定理」の版間の差分

もし ''X'' と ''Y'' がバナッハ空間で、''T'' が至る所で定義された（すなわち、''T'' の[[定義域]] ''D(T)'' が ''X'' であるような）[[線型写像|線形作用素]]であるなら、上の記述の逆が成立する。これがすなわち閉グラフ定理である: もし ''T'' のグラフが（{{仮リンク|[[直積位相|en|product topology}}]]を備えた）空間 {{nowrap|''X'' × ''Y''}} において閉であるなら、''T'' は[[閉作用素]]と呼ばれ、この設定の下では、''T'' は連続であると結論付けることが出来る。

閉グラフ定理の一般的な証明には[[開写像定理]]が用いられる。実際、閉グラフ定理、開写像定理および{{仮リンク|有界逆定理|en|bounded inverse theorem<!-- [[:ja:有界逆写像定理]] とリンク -->|FIXME=1}}はすべて[[同値]]である。この同値性はまた ''X'' および ''Y'' がバナッハ空間であることの必要性を明示するために役に立つ; 例えば、コンパクト・サポートを持つような連続関数や、あるいは上極限ノルムを備えた有限個の非ゼロな元からなる列を用いることで、有界な逆を持つような線形作用素を構成することが出来る。