「直積 (ベクトル)」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
編集の要約なし |
Buriedunderground (会話 | 投稿記録) en:Outer product 17:44, 11 March 2015 |
||
1行目:
{{For|{{仮リンク|幾何代数|en|geometric algebra}}（[[クリフォード代数]]）における外積 (outer product)|外積代数}}
[[線型代数学]]における'''直積'''（ちょくせき、{{lang-en-short|direct product}}<ref>{{MathWorld|urlname=TensorDirectProduct|title=Tensor Direct Product|author=Rowland, Todd and Weisstein, Eric W.}}</ref>）あるいは'''外積'''（がいせき、{{lang-en-short|''outer product''}}）は典型的には二つの[[ベクトル]]の[[テンソル積]]を言う。{{仮リンク|座標ベクトル|en|coordinate vector}}の外積をとった結果は[[行列]]になる。外積の名称は[[内積]]に対照するもので、内積はベクトルの対を[[スカラー]]にする。
: <math>\mathbf{u}\otimes\mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^{\top} =
\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{pmatrix}.</math>
ベクトル同士の外積は行列の[[クロネッカー積]]の特別な場合である。
「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は [[R言語|R]], [[APL]], [[Mathematica]] などいくつかの計算機プログラム言語では[[高階函数]]でもある。
== 定義 ==
=== 行列表現 ===
{{main|行列の乗法}}
ふたつのベクトル {{math|'''u''', '''v'''}} の外積 {{nowrap|'''u''' ⊗ '''v'''}} は、{{math|'''u'''}} を {{math|''m'' × 1}} [[列ベクトル]]、{{math|'''v'''}} を {{math|''n'' × 1}} 列ベクトル（従って {{math|'''v'''<sup>⊤</sup>}} は行ベクトル）としたときの行列の積 {{math|'''uv'''<sup>⊤</sup>}} に等価である<ref>Linear Algebra (4th Edition), S. Lipcshutz, M. Lipson, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-154352-1</ref>。成分を用いて
: <math>\mathbf{u} =(u_1, u_2, \dots, u_m),\quad \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)</math>
と書けば、外積 {{math|'''u''' ⊗ '''v'''}} は {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{math|'''A'''}} で各成分は {{math|'''u'''}} の各成分と {{math|'''v'''}} の各成分の積であたえられ<ref>{{MathWorld|urlname=KroneckerProduct|title=Kronecker Product}}</ref><ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
</ref>、
:<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} =
\begin{pmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_mv_1 & u_mv_2 & \dots & u_mv_n \end{pmatrix}.</math>
と表される。
[[複素数|複素]]ベクトルの場合には、これを少し変えて、{{math|'''v'''}} の転置の代わりに[[共軛転置]] {{math|'''v'''<sup>∗</sup>}} を用い、
: <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^{*}</math>
とする。つまり得られる行列 {{math|'''A'''}} は {{math|'''u'''}} の各成分と {{math|'''v'''}} の各成分の複素共軛との積を成分とするものになる。
; 内積との対比
: {{math|1=''m'' = ''n''}} のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（{{math|1 × 1}} 行列）が得られる。つまり、[[数ベクトル空間]]の標準[[内積]]（[[点乗積]]）{{math|⟨'''u''', '''v'''⟩ {{=}} '''u'''{{sup|⊤}}'''v'''}} である。内積は外積の[[蹟 (線型代数学)|トレース]]に等しい。
; 行列としての階数
: {{math|'''u''', '''v'''}} がともに非零ならば、外積 {{math|'''uv'''<sup>⊤</sup>}} の行列としての[[行列の階数|階数]]は常に {{math|1}} である。このことを見るにはベクトル {{math|'''x'''}} に掛けて {{math|('''uv'''{{sup|⊤}})'''x''' {{=}} '''u'''('''v'''{{sup|⊤}}'''x''')}} とすればよい。これはベクトル {{math|'''u'''}} のスカラー {{math|'''v'''<sup>⊤</sup>'''x'''}}-倍に他ならない。
: （"行列の階数" を{{仮リンク|テンソルの階数|en|tensor order}} ("order" / "degree") と混同してはならない）。
=== テンソルの外積 ===
テンソルに対する外積はふつう[[テンソル積]]と呼ばれる。[[テンソル]] {{math|'''a'''}} は階数 {{mvar|q}} で各次元 {{math|(''i''<sub>1</sub>, …, ''i''<sub>''q''</sub>)}}, {{math|'''b'''}} は階数 {{mvar|r}} で各次元が {{math|(''j''<sub>1</sub>, …, ''j''<sub>''r''</sub>)}} とすれば、これらの外積 {{math|'''c'''}} は階数 {{math|''q'' + ''r''}} で各次元 {{math|(''k''<sub>'''1'''</sub>, …, ''k''<sub>''q''+''r''</sub>)}} は先に {{mvar|i}} の次元を並べた後に {{mvar|j}} の次元を並べたものになる。これを {{math|⊗}} を用いた座標に依存しない表記で書き、その成分を添字表記で書けば
: <math>\mathbf{c}=\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}, \quad c_{ij}=a_ib_j </math>
となる<ref>Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3</ref>。高階テンソルの場合も同様で、例えば
: <math>\mathbf{T}=\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}\otimes\mathbf{c}, \quad T_{ijk}=a_ib_jc_k </math>
などと書ける。
例えば {{math|'''A'''}} が三階で各次元が {{math|(3, 5, 7)}}, {{math|'''B'''}} が二階で各次元が {{math|(10, 100)}} ならば、それらの外積 {{math|'''C'''}} は五階で各次元は {{math|(3, 5, 7, 10, 100)}} となる。{{math|'''A'''}} の成分 {{nowrap|1= ''a''<sub>2,2,4</sub> = 11}} および {{math|'''B'''}} の成分 {{math|1= ''b''<sub>8,88</sub> = 13}} に対応して、外積 {{math|'''C'''}} の成分 {{math|1= ''c''<sub>2,2,4,8,88</sub> = 11*13 = 143}} が決まる。
外積の行列としての定義をテンソル積の言葉で理解するには:
{{ordered list
|1= ベクトル {{math|'''v'''}} は一階の {{mvar|M}}-次元テンソルとして解釈できる。同様に {{math|'''u'''}} が一階の {{mvar|N}}-次元テンソルである。これらのテンソル積の結果は二階の {{math|(''M'', ''N'')}}-テンソルになる。
|2= {{mvar|q}}-階および {{mvar|r}}-階の二つのテンソルの{{仮リンク|テンソルの縮約|label=内積|en|tensor contraction}}の結果は、階数が {{math|''q'' + ''r'' − 2}} または {{math|0}} の大きい方になる。二つの行列の内積は二つのベクトルの外積（テンソル積）と階数が一致する。
|3= It is possible to add arbitrarily many leading or trailing ''1'' dimensions to a tensor without fundamentally altering its structure. These ''1'' dimensions would alter the character of operations on these tensors, so any resulting equivalences should be expressed explicitly.
|4= ふたつの行列 {{math|'''V'''}} は次元 {{math|(''d'', ''e'')}}, {{math|'''U'''}} は次元 {{math|(''e'', ''f'')}} とするとこれらの内積は
: <math>\sum_{j = 1}^e V_{ij} U_{jk}\quad ({i = 1, 2, \ldots, d\atop k = 1, 2, \ldots, f})</math>
である。{{math|1= ''e'' = 1}} の場合にはこの和は自明である（一つの項しかない）。
|5= 次元 {{math|(''m'', ''n'')}}の行列 {{math|'''V'''}} と次元 {{math|(''p'', ''q'')}} の行列 {{math|'''U'''}} の外積は
: <math> C_{st} = V_{ij} U_{hk}, \quad ({s = 1, 2, \ldots, mp - 1, mp\atop t = 1, 2, \ldots, nq - 1, nq})</math>
}}
=== 抽象的な定義 ===
[[ベクトル空間]] {{math|''V'', ''W''}} と {{math|''W''<sup>∗</sup>}} は {{mvar|W}} の[[双対空間]]とする。
ベクトル {{math|''x'' ∈ ''V''}} および {{math|''y''<sup>∗</sup> ∈ ''W''<sup>∗</sup>}} に対してテンソル積 {{math|''y''<sup>∗</sup> ⊗ ''x''}} は
: <math>w \mapsto y^*(w)x</math>
で与えられる写像 {{math|''A'': W → ''V''}} に対応する。ここで {{math|''y''<sup>∗</sup>(''w'')}} は[[線型汎函数]] {{math|''y''<sup>∗</sup>}}（これは {{mvar|W}} の双対空間の元）をベクトル {{math|''w'' ∈ ''W''}} において評価した値である。これはスカラーであり、これを最終的に {{mvar|V}} の元である {{mvar|x}} に掛けたものがテンソル積の値である。
ベクトル空間 {{math|''V'', ''W''}} が有限次元ならば、{{mvar|W}} から {{mvar|V}} への線型変換全体の成す空間 {{math|Hom(''W'', ''V'')}} は外積で生成される。実は行列の階数は、外積を和として表すために必要な項の最小数（行列のテンソル階数）に一致する。今の場合、{{math|Hom(''W'', ''V'')}} は {{math|''W''<sup>∗</sup> ⊗ ''V''}} に線型同型である。
; 双対性内積との対比
: {{math|1=''W'' = ''V''}} のとき、余ベクトル {{math|''w''<sup>∗</sup> ∈ ''V''<sup>∗</sup>}} とベクトル {{math|''v'' ∈ ''V''}} とを写像 {{math|(''w''<sup>∗</sup>, ''v'') ↦ ''w''<sup>∗</sup>(''v'')}} を通して対にすることができる。これは {{mvar|V}} とその双対空間との間に定まる双対性を表す内積である。
== 応用 ==
外積は物理量（例えば[[慣性モーメント|慣性テンソル]]など）の計算や、[[デジタル信号処理]]や[[デジタル画像処理]]における変形操作を行うのに有用である。また[[統計学|統計的解析]]においても、二つの[[確率変数]]の[[共分散行列|共分散]]および自己共分散行列の計算に有用である。
== 関連項目 ==
* [[線型代数学]]
* [[ノルム]]
* {{仮リンク|スカッター行列|en|Scatter matrix}}
* {{仮リンク|リッチ解析|en|Ricci calculus}}
=== 乗法 ===
* [[交叉積]]
* [[外積]]
* [[デカルト積]]
=== 双対性 ===
* [[複素共軛]]
* [[随伴行列]]
* [[転置行列]]
* [[Bra–ket notation#Outer products|Bra–ket notation for outer product]]
== 参考文献 ==
{{reflist}}
{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:ちよくせき}}
[[Category:双線型演算]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:物理数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:高階関数]]
| |||