2015年5月4日 (月) 04:25時点における版編集 Ta2o (会話 \| 投稿記録) 拡張承認された利用者、IPブロック適用除外者 2,476 回編集 m {{出典の明記}} ← 古い編集		2015年8月21日 (金) 20:00時点における版編集取り消し Buriedunderground (会話 \| 投稿記録) 988 回編集 en:Solid of revolution 15:38, 4 August 2015 新しい編集 →
1行目: [[File:Rotationskoerper animation.gif\|thumb\|right\|曲線の回転。その表面は[[回転面]]を成し、その囲む領域が回転体である。]] ~~{{出典の明記\|date=2015年5月}}~~ [[数学]]、[[工学]]および[[製造業]]における'''回転体'''（かいてんたい、{{lang-en-short\|''solid of ~~revolution）~~revolution''}}）は、~~[[数学]]・[[工学]]・[[製造業]]において~~適当な[[平面~~]][[図形~~曲線]]を~~それと~~同平面~~に位置する~~内の[[直線]]~~（[[~~を{{仮リンク\|回転の軸~~]]）の周りに[[~~\|en\|axis of rotation}}として回転~~]]す~~させることにより得られる[[図形\|立体]]図形]]である。母線となる曲線が軸と交わらないものとすれば、回転体の[[体積]]は[[表面積]]と{{仮リンク\|中心軌跡\|en\|centroid}}によって記述される[[円周]]の[[長さ]]との積に等しい（[[パップス＝ギュルダンの定理\|パップスの第二中心軌跡定理]]）。 == 例 ==▼ 例えば、[[円 (数学)\|円]]に対し、それとは交わらない直線を軸にして回転させた場合、[[トーラス]]と呼ばれる[[ドーナツ]]型の立体ができる。一方、円の中心を通る直線を軸にした場合、[[球]]ができる。 '''代表円板''' (''representative disk'') は回転体の[[三次元]]{{仮リンク\|体積要素\|label=体素\|en\|volume element}}を言う。この体素は回転の軸から {{mvar\|r}} 単位離れた位置にある長さ {{mvar\|w}} の[[線分\|線素]]を[[回転]]させることによって得られ、従って {{math\|π''r''<sup>2</sup>''w''}} 単位の[[円柱 (数学)\|円筒]][[体積]]を囲む。 [[直角三角形]]を斜辺以外の辺を軸に回転させれば、[[円錐]]が現れる。鋭角三角形は、頂点から垂線を引けば直角三角形を二つ張り合わせたものになるから、辺を軸に回転させれば[[複円錐]]ができる。鈍角三角形も鈍角に対する辺で回転させれば複円錐である。 == 求積法 == ~~同様に長方形を辺を軸に回転させれば、回転体として[[円柱 (数学)\|円柱]]を得る。~~ 回転体の体積の求積法には、円板分割と円筒分割の大きく二つがよく用いられる。これらの方法を適用するために、対象のグラフを描くことが最も平易である。グラフの面積を回転軸の周りに回転させたものと見るとき、体積を求めるには図形を厚み {{mvar\|δx}} の薄い円板形か、厚み {{mvar\|δx}} の薄い円筒殻に切り分けて、それらの体積の和の {{math\|''δx'' → 0}} なる極限をとればよく、その値は適当な積分によって評価されることになる。 === ~~回転体の体積~~円板法 === [[File:Disc integration.svg\|thumb\|right\|{{mvar\|y}}-軸に関する円板分割積分 (disk integration)]] 回転体は回転の軸に垂直な平面で切断すれば、その切断面は常に円を描く。したがって回転体の体積は、回転体を軸に垂直な平面で薄くスライスした断片（それはほぼ "円柱" である）の体積を軸の方向へ積分することで計算可能である。 {{main\|{{仮リンク\|Disk integration\|en\|Disk integration}}}} 円板法（円板分割法）では回転体を回転軸に'''[[垂直]]'''にスライスし、軸に'''[[平行]]'''に積分する。詳しく言えば、軸に沿って変数 ''h'' を動かすとき、各断片の断面の半径が ''r'' = ''r''(''h'') であるとすれば π''r''<sup>2</sup> × ''dh'' という微小体積をもつ。この断片たちを ''h'' に沿って加え合わせたものを考えれば回転体の体積がわかるということである。 ~~たとえば、関数~~曲線 {{mvar\|''yf'' =(''x''), ''fg''(''x'')}} でと直線 {{math\|1= ''xyx''~~-平面上に描かれる平面曲線と~~ = ''a'', ''x'' ~~軸が単純閉曲線をつくるとき、それが~~= ''b''}} の囲む図形面積を {{mvar\|x}}-軸の周りに回転させたとてできのる回転体の体積は~~次のようである：~~ : <math>~~\int_a^b~~V = \pi ~~y^2 dx =~~ \int_a^b \pivert f(x)^2 - g(x)^2\vert\,dx</math> で与えられる。{{math\|''g''(''x'') {{=}} 0}} ならば ~~ただし、''a'', ''b'' (''a'' < ''b'') は ''f''(''x'') = 0 の根である。~~ : <math>yV = \~~sqrt{r~~pi \int_a^2-b f(x)^2} \,dx</math> ▼ と簡約することができる。この方法を視覚化するには、{{mvar\|y}} において外に {{math\|''f''(''y'')}}, 内に {{math\|''g''(''y'')}} の水平に伸びた薄い矩形を {{mvar\|y}}-軸の周りに回転させてみればよい。回転させたものは外径 {{math\|''R'' {{=}} ''f''(''y'')}}, 内径 {{math\|''r'' {{=}} ''g''(''y'')}} の[[アニュラス\|環帯]]（あるいは {{math\|''g''(''y'') {{=}} 0}} のときは円板）で、環帯の面積は {{math\|{{π}}(''R''{{exp\|2}} − ''r''{{exp\|2}})}} で与えられる。故に、各無限小円板の体積は {{math\|{{π}}''f''(''y''){{exp\|2}}''dy''}} となり、これら体積のリーマン和の極限は上記の積分であることが理解される。 ~~=== 計算例 ===~~ ~~半径 ''r'' > 0 の球の体積: この球は曲線~~ ▲:<math>y = \sqrt{r^2-x^2}</math> ~~(-''r'' ≤ ''x'' ≤ ''r'') を ''x'' 軸の周りに回転させた回転体であるから~~ ~~:<math>\int_{-r}^{r} \pi(\sqrt{r^2-x^2})^2 dx =~~ ~~2 \pi \int_0^r r^2 - x^2 \,dx~~ ~~= 2\pi\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi r^3~~ ~~</math>~~ === ~~一般化~~円筒法 === [[File:Shell integration.svg\|thumb\|right\|バウムクーヘン積分 (shell integration)]] ~~一般には、回転させる図形の次元は気にせず、直線を軸に回転させて得られる（主に高次元の）図形を回転体ということがある。~~ {{main\|{{仮リンク\|バウムクーヘン積分\|en\|Shell integration}}}} 円筒分割（年輪法）は回転体を回転軸と'''平行'''にスライスし、軸に'''垂直'''に積分する。たとえば、直線を異なる直線を軸にして回転させるとき、[[円柱 (数学)\|円柱面]]や[[円錐\|円錐面]]、[[回転双曲面]]が現れる。この場合は[[回転面]]というのが普通である。曲線 {{math\|''f''(''x''), ''g''(''x'')}} と直線 {{math\|1= ''x'' = ''a'', ''x'' = ''b''}} の囲む面積を {{mvar\|y}}-軸の周りに回転させた回転体の体積は ==関連項目==▼ : <math>V = 2\pi \int_a^b x\vert f(x) - g(x)\vert\,dx</math> [[パップス＝ギュルダンの定理]]▼ で与えられる。{{mvar\|''g''(''x'') {{=}} 0}} のときは [[カヴァリエリの原理]]▼ : <math>V = 2\pi \int_a^b x \vert f(x) \vert \,dx</math> と簡約できる。この方法を視覚的に見るには、{{mvar\|x}} において高さ {{math\|[f(x) - g(x)]}} の縦に薄く伸びた矩形を考え、それを {{mvar\|y}}-軸周りに回転させて円筒殻を描けばよい。この円筒の側面積は {{math\|1= 2π''rh'' = 2π''x''[''f''(''x'') − ''g''(''x'')]}} であり、これらすべての側面積を当該の区間において足し上げれば上記の如く体積を得る。 == 媒介変数表示 == 曲線が適当な区間を動く媒介変数 {{math\|''t'' ∈ [''a'',''b'']}} で {{math\|(''x''(''t''),''y''(''t''))}} と媒介変数表示されているとき、これを {{mvar\|x}}-軸または {{mvar\|''y''}}-軸の周りに回転させて生成される回転体の体積はそれぞれ : <math>V_{x} = \int_a^b \, \pi y^2 \frac{dx}{dt} \, dt</math> または : <math>V_{y} = \int_a^b \pi x^2 \frac{dy}{dt} \, dt</math> で与えられる<ref>{{cite book \|title=Application Of Integral Calculus \|first1=A.K. \|last1=Sharma \|publisher=Discovery Publishing House \|year=2005 \|isbn=81-7141-967-4 \|page=168 \|url=http://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC}}, [http://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC&pg=PA168 Chapter 3, page 168] </ref>。なお同じ状況で、回転体の表面積は同曲線が生成する回転面の面積であり、{{mvar\|x}}-軸または {{mvar\|y}}-軸の周りに回転させた場合はそれぞれ : <math>A_{x} = \int_a^b 2 \pi y \sqrt{ \Bigl( \frac{dx}{dt} \Big)^{\!2}\! + \Bigl( \frac{dy}{dt} \Big)^{\!2}} \; dt</math> または : <math>A_{y} = \int_a^b 2 \pi x \sqrt{ \Bigl( \frac{dx}{dt} \Big)^{\!2}\! + \Bigl( \frac{dy}{dt} \Big)^{\!2}} \; dt</math> で与えられる<ref>{{cite book \|title=Engineering Mathematics \|edition=6 \|author=Singh \|publisher=Tata McGraw-Hill \|year=1993 \|isbn=0-07-014615-2 \|page=6.90 \|url=http://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC}}, [http://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90 Chapter 6, page 6.90] </ref>。 ▲== 関連項目 == {{commons category\|Solids of revolution}} ▲* [[~~カヴァ~~ガブリエリルの原理角笛]] ▲* [[~~パップス＝~~ギュルダンの定理]] * {{仮リンク\|擬球面\|en\|Pseudosphere}} * [[回転面]] ▲== 例注釈 == {{reflist}} == 関連項目 == CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <http://www.cliffsnotes.com/study_guide/topicArticleId-39909,articleId-39907.html>. [[Frank J. Ayres\|Frank Ayres]], [[Elliott Mendelson]]. ''[[Schaum's Outlines]]: Calculus''. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 ({{Google books\|Ag26M8TII6oC\|online copy\|page=244}}) {{MathWorld \|id=SolidofRevolution \|title=Solid of Revolution}} {{DEFAULTSORT:かいてんたい}} [[Category:回転体\|]] [[Category:積分法]] [[Category:対称性]] [[Category:数学に関する記事]]

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