2015年7月4日 (土) 05:14時点における版編集 Tom Toyosaki (会話 \| 投稿記録) 1,087 回編集 m →‎関連項目 ← 古い編集		2015年8月23日 (日) 14:15時点における版編集取り消し Wetch (会話 \| 投稿記録) 拡張承認された利用者 6,036 回編集出典はそれなりに示せたと思いますので{{出典の明記}}を削除。座標変換について追記。独立な成分が21個まで減らせることを追記。新しい編集 →
7行目: == 概要 == 弾性率は[[弾性変形]]における[[応力]]と[[ひずみ]]の間の比例定数(応力/ひずみ)として定義される。ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ[[量の次元\|次元]]を持ち、[[国際単位系\|SI]]における単位は[[パスカル]]（記号: Pa）、[[ニュートン]]毎[[平方メートル]]（記号: N/m<sup>2</sup>）が用いられる。また、弾性率の逆数を'''弾性コンプライアンス定数'''や単に'''弾性コンプライアンス'''という。単位は1/Pa、m<sup>2</sup>/N。 2階のテンソル量である応力<math>\boldsymbol{\sigma}</math>とひずみ<math>\boldsymbol{\epsilon}</math>に対して、弾性率<math>\boldsymbol{D}</math>は4階の[[テンソル]]量で表すことができる<ref name = "構成方程式の基本知識"/>。▼ :<math>\boldsymbol{\sigma}= \boldsymbol{D} \boldsymbol{\epsilon}</math>▼ :<math>\sigma_{ij}= D_{ijkl} \epsilon_{kl}\quad(i,j,k,l =1\sim3)</math>▼ 応力テンソルとひずみテンソルの対称性により、<math>\boldsymbol{\sigma}</math>と<math>\boldsymbol{\epsilon}</math>はそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソル<math>\boldsymbol{D}</math>の独立な成分は36(= 6 x 6)個となる。材料が等方均質弾性材料とすると独立な成分は2個まで絞られる<ref name="構成方程式の基本知識">{{Cite web \|author=吉川弘道 \|url= http://c-pc8.civil.musashi-tech.ac.jp/RC/ciber/conc/conc_pdf/kouseisoku.pdf \|title= 構成方程式の基本知識―考え方と定式化― \|format=PDF \|accessdate=2013-08-04}}</ref>。弾性率の種類としては以下のようなものがある。 ''E'' ：引張力、圧縮力などの単軸応力に対する変形の場合の[[ヤング率]]（縦弾性係数~~）：<math>E</math>~~） ''G'' ：[[せん断力]]に対する変形の場合の[[剛性率]]（ずり弾性率・横弾性係数・せん断弾性係数・ラメの第二定数~~）：<math>G</math>~~） ''K'' ：[[静水圧]]（直角3方向の力）に対する変形の場合の[[体積弾性率]] ~~：<math>K</math>~~ λ：[[ラメ定数\|ラメの第一定数]]（ラメの弾性係数~~）：<math>\lambda</math>~~）この他に、無次元数の[[ポアソン比]]も存在する。 == テンソル量としての弾性率~~の相関関係~~ == ▲2階のテンソル量である応力~~<math>\boldsymbol~~{\{math\|'''σ'''}}~~</math>~~とひずみ~~<math>\boldsymbol~~{\{math\|'''ε'''}}~~</math>~~に対して、弾性率~~<math>\boldsymbol~~{{math\|'''''D'''''}}~~</math>~~は4階の[[テンソル]]量で表すことができる<ref name = "構成方程式の基本知識"/>。等方均質弾性体では、ヤング率<math>E</math>、ポアソン比<math>\nu</math>、体積弾性率<math>K</math>、剛性率<math>G</math>、ラメの第一定数<math>\lambda</math>の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。その関係を下に示す。 ▲:<math>\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{D} \boldsymbol{\epsilon},</math> :<math>\sigma_{ij}= D_{ijkl} \epsilon_{kl}\quad(i,j,k,l =1\sim3)</math><ref>[[総和規約]]を用いており、[[総和\|総和記号]]が省略されていることに注意。</ref> 弾性率はテンソルであるため、[[材料の構成式#物質客観性の原理\|物質客観性の原理]]により座標変換において{{math\|σ{{=}}''D''ε}}の関係を保たねばならない。座標系{{math\|O-''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>}}から{{math\|O-''x'' '<sub>1</sub>}}{{math\|''x'' '<sub>2</sub>}}{{math\|''x'' '<sub>3</sub>}}へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は :<math>D'_{ijmn}=D_{pqrs} l_{ip} l_{jq} l_{mr} l_{ns}</math> と変換される<ref name=nakasone/>。ここで{{math\|''l<sub>ip</sub>''}}は、{{math\|''x<sub>i</sub>''}}軸と{{math\|''x'<sub>p</sub>''}}軸の[[方向余弦]]である。弾性率テンソルは81(= 3<sup>4</sup>)個の成分を持つが、応力テンソル{{math\|'''σ'''}}とひずみテンソル{{math\|'''ε'''}}は対称性、すなわち ▲:<math>\sigma_{ij}= D_\sigma_{~~ijkl~~ji},\quad \epsilon_{klij}~~\quad(i,j,k,l~~ =1\~~sim3)~~epsilon_{ji}</math> によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソル{{math\|'''''D'''''}}も :<math>D_{ijkl}=D_{jilk}</math> の性質を持ち、独立な成分は36(= 6<sup>2</sup>)個となる。さらに単位体積あたりの[[弾性ひずみエネルギー]] :<math>dW\equiv \sigma_{ij}\,d\epsilon_{ij}</math> を用いて弾性率が :<math>D_{ijkl}=\frac{\partial^2 W}{\partial\epsilon_{ij} \partial\epsilon_{kl}}</math> と表せることから :<math>D_{ijkl}=D_{klij}</math> が成り立つため、最終的に弾性率テンソル{{math\|'''''D'''''}}の独立な成分は21(= 6×(6+1)/2)個となる<ref name=nakasone>{{cite\|和書\|editor=中曽根祐司\|title=異方性材料の弾性論\|publisher=コロナ社\|year=2014\|isbn=978-4-339-04633-5\|pages=80-83}}</ref>。 == 等方均質材料の弾性率の相関関係 == 材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソル'''''D''''' の独立な成分は2個まで絞られる<ref name="構成方程式の基本知識">{{Cite web \|author=吉川弘道 \|url= http://c-pc8.civil.musashi-tech.ac.jp/RC/ciber/conc/conc_pdf/kouseisoku.pdf \|title= 構成方程式の基本知識―考え方と定式化― \|format=PDF \|accessdate=2013-08-04}}</ref>。この場合、ヤング率''E'' 、ポアソン比ν、体積弾性率''K'' 、剛性率''G'' 、ラメの第一定数λの5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。 :ここで、<math>\alpha=\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}</math>とする。 99 ⟶ 115行目: == 複素弾性率 == {{main\|粘弾性#複素弾性率}} [[{{see also\|動的弾性率]]}}▼ [[粘弾性体]]に対しては、弾性率は[[複素数]]で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。 == ざまざまな物質の弾性率の例 == {{節stub}} 具体的な材料についての弾性率の値を示す。 == 脚注 == 109 ⟶ 130行目: [[剛性]] [[フックの法則]] ▲[[動的弾性率]] *[[ヤング率]] {{DEFAULTSORT:たんせいりつ}}

「弾性率」の版間の差分