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Element (mathematics) (15:05, 13 August 2015‎) に従い冒頭文を整理。
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[[数学]]において'''元'''（げん、英: element）とは、[[集合]]を構成する個々の[[数学的対象]]のことである。
[[数学]]において'''属する'''（ぞくする、{{lang-en-short|membership}}）とは、[[対象 (数学)|数学的対象]]と[[集合]]（あるいは一般に[[類 (数学)|類]]）との間に定まる非[[対称関係|対称な関係]]（'''帰属関係'''）であり、[[外延性公理]]は集合をそれに属する全ての数学的対象を指定することによって{{仮リンク|特徴付け (数学)|label=特徴づける|en|Characterization (mathematics)}}。▼
[[ジュゼッペ・ペアノ]]の導入した記法<ref>Hans Freudenthal, « Notation mathématique », ''Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications'', Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.</ref>に従えば、対象 {{mvar|x}} が集合 {{mvar|E}} の元であることを {{math|''x'' ∈ ''E''}} と書き表す。
[[ジュゼッペ・ペアノ|ペアノ]]この導入した記法<ref>Hans Freudenthal, « Notation mathématique », ''Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications'', Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.</ref>に従えば、とき対象 {{mvar|x}} が集合 {{mvar|E}} に属することを {{math|''x'' ∈ ''E''}} と書き表属す。またこのとき、対象 {{mvar|x}} は集合 {{mvar|E}} の'''元る'''（げんぞくする、{{lang-en-short|''element''membership}}; 元素/要素）で、あるとか、いは集合 {{mvar|E}} は対象 {{mvar|x}} を含む{{refnest|group="Note"|「含む」「含まれる」などの語は集合の[[包含関係]]などにも用いるため紛らわしい（[[赤摂也]]は部分集合として含む、含まれるという代わりに「包む」「包まれる」とすることを提唱した<ref>{{cite book|和書| author= 松坂和夫 | title=集合位相入門 | publisher= 岩波書店 | year= 1968 | isbn=978-4000054249}}</ref>）。包含関係は帰属関係を用いて「集合 {{mvar|A}} が集合 {{mvar|B}} に含まれる」⇔「{{mvar|A}} の任意の元が {{mvar|B}} の元として属す」と定めることができる。}}などとも言う。▼
 
▲[[数学]]において'''「属する'''（ぞくする、{{lang-en-short|membership}}）」とは、いう[[対象 (数学)関係|二項関係]]は、数学的対象]]と[[集合]]（あるいは一般に[[類クラス (数学集合論)|類クラス]]）との間に定まる非[[対称関係|対称な関係]]（'''帰属関係'''）であり、る。[[外延性の公理]]はにより、集合をはそれに属する全ての数学的対象を指定することによってで{{仮リンク|特徴付け (数学)|label=特徴づけられる|en|Characterization (mathematics)}}。
▲[[ジュゼッペ・ペアノ|ペアノ]]の導入した記法<ref>Hans Freudenthal, « Notation mathématique », ''Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications'', Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.</ref>に従えば、対象 {{mvar|x}} が集合 {{mvar|E}} に属することを {{math|''x'' ∈ ''E''}} と書き表す。またこのとき、対象 {{mvar|x}} は集合 {{mvar|E}} の'''元'''（げん、{{lang-en-short|''element''}}; 元素/要素）であるとか、集合 {{mvar|E}} は対象 {{mvar|x}} を含む{{refnest|group="Note"|「含む」「含まれる」などの語は集合の[[包含関係]]などにも用いるため紛らわしい（[[赤摂也]]は部分集合として含む、含まれるという代わりに「包む」「包まれる」とすることを提唱した<ref>{{cite book|和書| author= 松坂和夫 | title=集合位相入門 | publisher= 岩波書店 | year= 1968 | isbn=978-4000054249}}</ref>）。包含関係は帰属関係を用いて「集合 {{mvar|A}} が集合 {{mvar|B}} に含まれる」⇔「{{mvar|A}} の任意の元が {{mvar|B}} の元として属す」と定めることができる。}}などとも言う。
 
通常用いられる{{仮リンク|集合論|en|set theory|preserve=1}} {{仮リンク|ツェルメロ＝フレンケル集合論|en|Zermelo-Fraenkel set theory|label=ZF}} においては[[基礎の公理]]が述べるところによって帰属関係は[[整礎関係|整礎]]、すなわち任意の集合は自身を元として含むことはない（帰属関係は[[反対称関係]]である）。しかし、基礎の公理の代わりに{{仮リンク|反基礎の公理|en|anti-foundation axiom}}を置く{{仮リンク|反基礎集合論|en|Non-well-founded set theory|label=他の集合論}}ではそのような制約を受けない{{仮リンク|超集合|en|hyperset}}が存在し得る。
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