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m ヤコビ行列の定義と微分可能性との関係を整理
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[[数学]]、特に[[多変数微分積分学]]および[[ベクトル解析]]における'''ヤコビ行列'''（やこびぎょうれつ、{{lang-en-short|''Jacobian matrix''}}）または'''関数行列'''（かんすうぎょうれつ、{{lang-de-short|''Funktionalmatrix''}}）は、一変数スカラー値関数における[[微分係数|接線の傾きを]]および一変数ベクトル値函数の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の、多変数ベクトル値関数に対してする拡張、高次元化したものである。多変数ベクトル値関数 {{mvar|f}} のヤコビ行列は、{{mvar|f}} の各成分の各[[偏微分|軸に関する方向への方向微分]]を並べてできる[[行列]]で
 
:<math>J_f = D_x f = \frac{\partial f}{\partial x} = \begin{pmatrix}
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のように表される。
 
ヤコビ行列の[[行列式]]は、'''ヤコビ行列式''' (''{{lang-en-short|Jacobian determinant}}'') あるいは単に'''ヤコビアン''' (''{{lang|en|Jacobian}}'') と呼ばれる。ヤコビアンは変数変換による伴う{{仮リンク|面積要素|en|Surface element}}や{{仮リンク|体積要素|en|volume element}}の[[無限小]]変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば[[重積分]]の変数変換に現れる。
 
これらは[[多変数の微分|多変数微分積分学]]、[[多様体論]]などで基本的な役割を果たすほか、[[最適化問題]]等の応用分野でも重要な概念である。
 
== 定義 ==
{{mvar|D}} を {{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[開集合]]とし、{{mvar|f}} を {{mvar|D}} 上で定義され、{{math|'''R'''{{sup|''m''}}}} に値を取る[[関数 (数学)写像|関数]]とする。
点 {{mvarmath|f}}''p'' が&isin; {{mvar|''D''}} 上の点における {{mvar|pf}} で[[微分法#多変数関数の微分法|微分可能]]であると'''ヤコビ行列'''は、
:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(p) = \begin{pmatrix}
\cfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(p) & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(p) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(p) & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(p)
\end{pmatrix}</math>
なる {{mvar|''m'' &times; ''n''}} 行列をいう。これをしばしば {{math|''J{{ind|f}}''(''p'')}} や {{math|''Df''(''p'')}} などと表す。
 
{{math|''m'' {{=}} ''n''}} の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その[[行列式]]を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 {{math|{{!}}''J{{sub|f}}'' {{!}}}} を'''ヤコビ行列式'''、'''関数行列式'''あるいは簡単に'''ヤコビアン'''と呼ぶ。ヤコビ行列式 {{math|{{!}}''J{{sub|f}}'' {{!}}}} は▼
:<math>\lim_{x\to p}\cfrac{f(x)-(A(x-p)+f(p))}{\|x- p\|} =0</math>▼
:<math>\bigg|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}\bigg|, \quad \cfrac{D(y_1, \ldots, y_n)}{D(x_1, \ldots, x_n)}</math>▼
なる {{math|(''n'' , ''m'' )}}-型行列 {{mvar|A}} が存在することであるが、このとき、{{mvar|A}} を {{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列と呼び、しばしば {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} などで表す。
のような記号で表記されることもある。▼
 
== 性質 ==▼
{{mvar|f}} が {{mvar|D}} 全域で微分可能な場合、{{mvar|p}} に対して {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} を対応させる写像▼
ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、{{math|''n'' {{=}} ''m'' {{=}} 1}} のとき、{{math|(1, 1)}}-型行列とその唯一の成分である実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。▼
: <math>J_f\colon p \mapsto J_f(p)</math>
についても、同様にヤコビ行列と呼ぶ。
 
{{mvar|f}} が点 {{mvar|p}} において任意の[[偏微分]]を持つならば {{mvar|p}} においてヤコビ行列は存在する。しかし、{{mvar|f}} の偏微分可能性だけでは {{mvar|f}} の[[全微分|微分可能性]]は言えないから、ヤコビ行列が存在しても {{mvar|f}} は {{mvar|p}} において必ずしも全微分可能でない。
なお、{{math|'''R'''{{sup|''m''}}}} から {{math|'''R'''}} への[[射影]] {{math|&pi;{{sub|''i''}} (''i'' = 1, 2, ..., ''m'' )}} について
 
{{mvar|f}} が {{mvar|D}} 上の点 {{mvar|p}} で微分可能、すなわち
▲: <math>\lim_{x\to p}\cfracdfrac{\|f(x)-f(Ap)-\mathit{df}(x-p)+f(p))\|}{\|x- p\|} =0</math>
なる線型写像 {{mvar|df}} が存在するとき、この線型写像 {{mvar|df}} の標準基底に関する表現行列は {{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}''(''p'')}} によって与えられる（すなわち、{{math|'''R'''{{sup|''m''}}}} のベクトルの各成分への[[射影]] {{math|'''R'''}} への[[射影]] {{math|&pi;{{sub|''i''}}: '''R'''{{sup|''m''}} → '''R''' (''i'' {{=}} 1, 2, ..., ''m'' )}} に対して
: <math>f_i := \pi_i \circ f</math>
とすると書けば、点 {{math|''x'' {{=}} ''p''}} におけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} は
 
: <math> \bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg|_{x=p}\bigg)_{i=1,\ldots,m \atop j=1,\ldots,n}</math>　
と書くことができる）。またこれは {{mvar|f}} が {{mvar|D}} の全域で微分可能であるとき、{{mvar|p}} に対して {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'')}} を対応させる写像 {{math|''J{{ind|f}}'': ''p'' {{mapsto}} ''J{{ind|f}}''(''p'')}} は {{mvar|f}} の[[全微分]]であると言っても同じことである。
 
▲{{mvar|f}} が点 {{mvar|Dp}} 全域でにおいて微分可能な場合であるとき、点 {{mvar|p}} に対しておけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} を対応させる写像は、{{mvar|x}} が {{mvar|p}} に十分近いとき
と等しいことが知られている。
 
▲{{math|''m'' {{=}} ''n''}} の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その[[行列式]]を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 {{math|{{!}}''J{{sub|f}}'' {{!}}}} を'''ヤコビ行列式'''、'''関数行列式'''あるいは簡単に'''ヤコビアン'''と呼ぶ。ヤコビ行列式 {{math|{{!}}''J{{sub|f}}'' {{!}}}} は
▲:<math>\bigg|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}\bigg|, \quad \cfrac{D(y_1, \ldots, y_n)}{D(x_1, \ldots, x_n)}</math>
▲のような記号で表記されることもある。
 
▲== 性質 ==
▲ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、{{math|''n'' {{=}} ''m'' {{=}} 1}} のとき、{{math|(1, 1)}}-型行列と実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。
 
点 {{mvar|p}} におけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} は {{mvar|x}} が {{mvar|p}} に十分近いとき
: <math>f(x)=f(p)+J_f(p)(x-p)+o(\|x-p\|)</math>
が成立なる関係を満足する（ここで {{mvar|o}} は[[ランダウの記号]]）という意味で {{mvar|f}} の {{mvar|p}} における[[近似法|一次近似]]であり、[[接ベクトル空間|接空間]]の間の[[線型写像]]とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、{{mvar|g}} が {{math|''f'' (''p'' )}} を含む領域 {{mvar|E}} から {{math|'''R'''{{sup|''l''}}}} への関数であり、{{math|''f'' (''p'' )}} において微分可能であるとき、
: <math>J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)</math>
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。
 
=== 逆関数の定理 ===
ここでは、{{mvar|f}} が {{mvar|D}} 上で[[滑らかな関数| {{mvar|C{{sup|k}}}} 級]] {{math|(''k'' &ge; 1)}} であるとする。
 
{{math|''m'' {{=}} ''n''}} のとき、{{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が[[正則行列]]である場合、{{mvar|f}} は 局所的に[[全単射]]となり、その逆関数は {{math|''C{{sup|k}}''}} 級であり、{{math|''f'' (''p'' )}} でのヤコビ行列は {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} の逆行列となる。
つまり、{{mvar|p}} を含むある領域 {{mvar|D{{'}}}} について、{{mvar|f}} の {{mvar|D{{'}}}} への制限
: <math>h := f|_{D'}\colon D' \to f(D')</math>
が {{mvar|C{{sup|k}}}} 級全単射で、
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となる。
 
一方、{{math|''J{{sub|f}}'' (''p'' )}} が退化している（[[行列の階数|階数]]が落ちる）場合には、以下の二つの状況がありうる。
* {{mvar|f}} は {{mvar|p}} のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が {{math|''f'' (''p'' )}} にて微分不可能
*;例: {{math|''x'' {{supexp|3}}}} は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 で微分不可能
* {{mvar|f}} は {{mvar|p}} のまわりで局所的にも全単射でない
*;例: {{math|''x'' {{supexp|2}}}} は 0 付近で局所的にも全単射でない
 
この時、{{mvar|p}} を[[特異点 (数学)|特異点]]、または[[{{仮リンク|臨界点 (微分幾何学)|label=臨界点]]|en|critical point (mathematics)}}という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。
 
== 多様体論におけるヤコビ行列 ==
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{{mvar|M, N}} をそれぞれ {{mvar|m}} 次元、{{mvar|n}} 次元の {{math|''C{{sup|k}}'' (''k'' &ge; 1)}} 多様体で、{{mvar|f}} をその間の {{mvar|C{{sup|k}}}} 級写像だとする。
このとき、{{mvar|f}} の点 {{math|''p'' &isin; ''M''}} での微分 {{mathmvar|d''fdf{{sub|p}}''}} は、点 {{mvar|p}} における {{mvar|M}} の[[接ベクトル空間]] {{mvar|T{{sub|p}}M}} と、点 {{math|''f'' (''p'' )}} における {{mvar|N}} の接ベクトル空間 {{math|''T''{{sub|''f'' (''p'' )}}''N''}} の間の線型写像となる。{{mvar|p}} のまわりの {{mvar|M}} の局所座標 {{math|{{(}}''x'' {{sub|1}}, ...…, ''x{{sub|m}}''{{)}}}} および {{math|''f'' (''p'' )}} のまわりの {{mvar|N}} の局所座標 {{math|{{(}}''y'' {{sub|1}}, ..., ''y{{sub|n}}''{{)}}}} を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。
この基底に関する {{mathmvar|d''fdf{{sub|p}}''}} の表現行列を {{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列と呼ぶ。
 
写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。
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=== 円座標 ===
円座標は、直交座標への座標変換 {{math|(''x'' , ''y'' ) {{=}} ''f'' (''r'' , &theta;) {{=}} (''r'' cos&thinsp;&theta;, ''r'' sin&thinsp;&theta;)}} を与えるから、ヤコビアンは
:<math>|J_f| = \left| \frac{\partial (x , y)}{\partial (r, \theta)} \right| = \begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
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=== 円柱座標 ===
[[円柱座標変換|円柱座標]]は、直交座標への座標変換 {{math|(''x'', ''y'', ''z'' ) {{=}} ''f'' (''r'', &theta;, ''z'' ) {{=}} (''r'' cos&thinsp;&theta;, ''r'' sin&thinsp;&theta;, ''z'' )}} を与えるから、ヤコビアンは
:<math>|J_f| =\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
94 ⟶ 96行目:
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}= r</math>
となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は {{math|''r'' {{=}} 0}} となる点、即ち {{math|(0, &theta;, ''z'' )}} である。これは直交座標での {{math|(0, 0, ''z'' )}} すなわち {{mvar|z}}&ndash;軸を表す。
 
=== 球座標 ===
球座標は、直交座標への座標変換 {{math|(''x'', ''y'', ''z'' ) {{=}} ''f'' (''r'', &theta;, &phi;) {{=}} (''r'' sin&theta;cos&phi;, ''r'' sin&theta;sin&phi;, ''r'' cos&theta;)}} を与えるから、ヤコビアンは
:<math>|J_f| =\begin{vmatrix}
\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
103 ⟶ 105行目:
\cos\theta & -r\sin\theta & 0
\end{vmatrix}= r^2 \sin\theta</math>
となる。従って、特異点は {{math|''r'' {{=}} 0}} または {{math|sin&thinsp;&theta; {{=}} 0}} となる点、即ち {{math|(0, &theta;, &phi;)}} と {{math|(''r'', 0, &phi;), (''r'', &pi;, &phi;)}} である。これは直交座標での {{math|(0, 0, 0), (0, 0, ''r'' ), (0, 0, &minus;''r'' )}} すなわち {{mvar|z}}&ndash;軸を表す。
 
== 脚注 ==
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