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15行目: 準同型写像 ''f'' が逆写像 ''f''<sup>−1</sup> を持ち、なおかつ ''f''<sup>−1</sup> もまた準同型であるとき、''f'' は'''同型写像'''あるいは単に同型であるという。''f'' が同型ならば ''f''<sup>−1</sup> も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 ''A'', ''B'' の間に準同型写像が存在するとき、''A'' と ''B'' とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。 [[可換体 ~~(数学)~~\|体]]の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。ゆえに体の場合は準同型といわず'''中への同型''' {{lang\|en\|(isomorphic into)}} とよび、さらに全射ならば'''上への同型''' {{lang\|en\|(isomorphic onto)}} であるという。また、[[群論\|群]]や[[環論\|環]]の準同型、[[ベクトル空間]]の[[線型写像]]（[[環上の加群]]としての準同型）は全単射ならば同型である。まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。 44行目: === 線型写像 === {{main\|線型写像\|作用 (数学)}} [[可換体 ~~(数学)~~\|体]] ''K'' 上のベクトル空間 ''V'' とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {α<sub>k</sub>: ''V'' → ''V''}<sub>''k''∈''K''</sub> (α<sub>''k''</sub>(''v'') := ''kv'' for ''v'' ∈ ''V'') を演算として持つ代数系 (''V'', +, 0, −·, {α<sub>''k''</sub>}<sub>''k''∈''K''</sub>) である（ここで、0 は加法に関する単位元（[[零元]]）であり, −· は加法に関する逆元（マイナス元）を与える単項演算であるが、加法に関して ''V'' は群となるのでこれを略して (''V'', +, {α<sub>k</sub>}<sub>''k''∈''K''</sub>) と考えてもよい）。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 ''K'' から ''V'' の加法群としての[[アーベル群#アーベル群の準同型\|自己準同型環]] End(''V'') への単位的環としての準同型像として得られるものである。二つのベクトル空間 (''V'', +, {α<sub>k</sub>}<sub>''k''∈''K''</sub>), (''W'', +′, {β<sub>''k''</sub>}<sub>''k''∈''K''</sub>) (β<sub>k</sub>: ''W'' → ''W''; β<sub>''k''</sub>(''w'') := ''kw'' for ''k'' ∈ ''W'') の間の準同型 ''f'': ''V'' → ''W'' は

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