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'''シェーンフリース記号'''（シェーンフリースきごう、{{Lang-en-short|Schönflies notation}}）とは、[[点群]]を記述、即ち、対象とする[[図形]]や[[物体]]の[[対称性]]を記述するために用いられる記法の一つである。主に[[分子]]に対して用いられることが多い。
他に、点群を記述するための記法としては、[[ヘルマン・モーガン記号]]（国際記法、{{Lang-en-short|[[w:Hermann–Mauguin notation|Hermann–Mauguin notation]]}}）がある。これは、主に[[結晶]]の対称性を記述するのに用いられる。
[[ドイツ]]の[[数学者]]、[[アーサー・モーリッツ・シェーンフリース]]（[[:en:Arthur Moritz Schönflies|Arthur Moritz Schönflies]]）に因む。
== 記法 ==
=== 主記号 ===
対称要素の種類により、以下の主記号（と添え字）が用いられる。
*''C<sub>n</sub>''（{{Lang-en-short|cyclic}}） - [[回転対称]]
:対象とする図形が''n''回対称、即ち、ある軸（主回転軸）の周りに(360 / ''n'')[[度 (角度)|°]] [[回転]]させると自らと重なるとき、この図形の点群はシェーンフリース記号で''C<sub>n</sub>''と表記される。
*''D<sub>n</sub>''（英: dihedral） - <!-- どなたか適切な訳語を御存知でしたら加筆をお願いします -->
:図形が''n''回対称で、かつ、主回転軸に垂直な''n''本の''C<sub>2</sub>''軸を持つとき、この図形の点群は''D<sub>n</sub>''と表記される。
*''S<sub>n</sub>''（{{Lang-de-short|Spiegel}}） - [[回映操作|回映]]対称
:図形が、主回転軸の周りに(360 / ''n'')° 回転させてからその軸に垂直な平面についての鏡像をとると自らと重なるとき、この図形の点群は''S<sub>n</sub>''と表記される。
*''C<sub>i</sub>''（英: inversion） - [[点対称|反転対称]]
:図形が、ある点（反転中心）について点対称であるとき、この図形の点群は''C<sub>i</sub>''と表記される。
*''C<sub>s</sub>''（独: Spiegel） - [[鏡映操作|鏡映]]対称
:図形が、ある平面（鏡映面）について鏡映対称であるとき、この図形の点群は''C<sub>s</sub>''と表記される。
*''T''（英: tetrahedral） - [[正四面体]]型
:図形が、正四面体と同様の4本の''C<sub>3</sub>''軸と3本の''D<sub>2</sub>''軸を持つとき、この図形の点群は''T''と表記される。
*''O''（英: octahedral） - [[正八面体]]型
:図形が、正八面体と同様の3本の''D<sub>4</sub>''軸と4本の''D<sub>3</sub>''軸と6本の''D<sub>2</sub>''軸を持つとき、この図形の点群は''O''と表記される。
*''I''（英: icosahedral） - [[正二十面体]]型
:図形が、正二十面体と同様の6本の''D<sub>5</sub>''軸と10本の''D<sub>3</sub>''軸と15本の''D<sub>2</sub>''軸を持つとき、この図形の点群は''I'' と表記される。
=== 付加記号 ===
更に、図形が鏡映面を持つ場合は、その位置に応じて以下の付加記号が用いられる。
*''h''（英: horizontal） - 水平（主回転軸に垂直）
:主回転軸に垂直な平面について鏡映対称であるとき、添え字''h''が用いられる。
*''v''（英: vertical） - 垂直（主回転軸に平行）
:主回転軸を通る鏡映面を持つとき（回転対称性よりこの鏡映面は''n''個ある）、添え字''v''が用いられる。
*''d''（英: diagonal） - 対角的（主回転軸に平行）
:主記号が''D''で主回転軸を通る鏡映面を持ち、主回転軸に垂直な鏡映面を持たないとき、鏡映面は隣り合う2本の''C<sub>2</sub>''軸の2等分線と主回転軸を通るので、添え字''d''が用いられる。''v''が用いられることもある。
但し、正多面体型の対称性に対しては、付加記号の選び方が若干変則的になる。
*主記号が''T''の場合
**2本の''D<sub>2</sub>''軸を通る鏡映面を持つ場合、''T<sub>h</sub>''と表記される。
**2本の''C<sub>3</sub>''軸を通る鏡映面を持つ場合、''T<sub>d</sub>''と表記される。
*主記号が''O''の場合
**2本の''D<sub>4</sub>''軸を通る鏡映面を持つ場合、''O<sub>h</sub>''と表記される。
*主記号が''I'' の場合
**2本の''D<sub>5</sub>''軸を通る鏡映面を持つ場合（これに垂直な回転軸は''D<sub>2</sub>''軸であり、主回転軸とは呼べないが）、''I<sub>h</sub>''と表記される。
== 制約 ==
上で述べた記号の組み合わせが全て使われるわけではない。
=== n=1 に於ける制約 ===
*''C<sub>1h</sub>''、''C<sub>1v</sub>''、''S<sub>1</sub>''は''C<sub>s</sub>''と一致するので、通常は''C<sub>s</sub>''と表記する。
*''D<sub>1</sub>''は''C<sub>2</sub>''と一致するので、通常は''C<sub>2</sub>''と表記する。
*''D<sub>1h</sub>''は''C<sub>2v</sub>''と一致するので、通常は''C<sub>2v</sub>''と表記する。
*''D<sub>1d</sub>''は''C<sub>2h</sub>''と一致するので、通常は''C<sub>2h</sub>''と表記する。
=== 回転角に対する制約 ===
*''S<sub>n</sub>''は、''n''が奇数のとき''C<sub>nh</sub>''と一致するので、''n''が偶数の場合にのみ用いられる。
=== 付加記号に対する制約 ===
*''C<sub>i</sub>''、''C<sub>s</sub>''に対しては、付加記号は用いられない。
*''S<sub>nh</sub>''は''C<sub>nh</sub>''と一致するので用いられない。
*''S<sub>2nv</sub>''は''D<sub>nd</sub>''と一致するので用いられない。
== 具体例 ==
=== 図形 ===
いくつかの図形の点群をシェーンフリース記号で表記すると、以下のようになる。
*正n[[角錐]] - ''C<sub>nv</sub>''
*正n[[角柱]] - ''D<sub>nh</sub>''
*正[[反角柱|反n角柱]] - ''D<sub>nd</sub>''
*[[正四面体]] - ''T<sub>d</sub>''
*[[正六面体]]（立方体） - ''O<sub>h</sub>''
*[[正八面体]] - ''O<sub>h</sub>''
*[[正二十面体]] - ''I<sub>h</sub>''
=== 分子 ===
*[[水]] - ''C<sub>2v</sub>''
*[[アンモニア]] - ''C<sub>3v</sub>''
*[[エタン]] - ''D<sub>3d</sub>''
*[[キュバン]] - ''O<sub>h</sub>''
*[[フラーレン]] - ''I<sub>h</sub>''
=== 物体 ===
*[[プロペラ]] - ''C<sub>n</sub>''
*[[バレーボール]] - ''T<sub>h</sub>''
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