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== 定義 ==
;===オイラーによる定義===
:''e'' は
:<math style="margin-left:2em;">{d \over dx}\, a^x
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}
= \left( \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^h-1}{h} \right) a^x
= a^x</math><br>
:を満たすような実数''a'' のことであり
:<math style="margin-left:2em">\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h} =1</math><br>
:をネイピア数の定義とした。
;===収束数列による定義===
:以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、[[利子#連続複利と元利合計|利子の連続複利]]の計算との関連で言及されたものである。
:<math style="margin-left:2em">e=\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math><br>
:元金1を年利1、付利期間を(1/n)年で1年預金すれば、(1/n)年ごとに利子(1/n)で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。 n→∞とした極限は連続複利の元利合計となる。
:オイラーは、導関数がもとの関数と等しい[[指数関数]]の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで ''n'' は[[自然数]]だが、''n'' を[[実数]]として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。
[[ファイル:Ln+e.svg|thumb|right|200px|自然対数の ''e'' における値は 1 である。すなわち ln ''e'' = 1。]]
;===微分積分学の基本的な関数を使った定義===
:<math style="margin-left:2em">e=\exp 1</math><br>
:<math style="margin-left:2em">\ln e=1</math><br>
:exp ''x'' は[[指数関数]]、ln ''x'' は[[自然対数]]であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数はネイピア数 ''e'' を用いて定義することもあるが、それを逆にネイピア数の定義に用いることは、[[循環定義|定義が循環]]してしまうので、できない。以下に示すようなネイピア数 ''e'' を用いない定義により、ネイピア数を定義できる。
=== 定義に用いられる諸公式 ===
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