「完全体」の版間の差分
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* ''k'' は標数 0 であるかまたは標数 ''p'' > 0 かつ[[フロベニウス自己準同型]] ''x''→''x''<sup>''p''</sup> が ''k'' の[[同型写像]]。
* ''k'' の[[分離閉包]]は[[代数的閉体]]である。
* すべての[[被約環|被約]]可換 ''k''-多元環 ''A'' は {{仮リンク|分離多元環|en|separable algebra}}である、すなわち、<math>A \otimes_k F</math> はすべての[[体の拡大]] ''F''/''k'' に対して被約である。（下記参照）
そうでなければ、''k'' は'''不完全'''（{{lang-en-short|imperfect}}）と呼ばれる。
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完全体は重要である、なぜならば完全体上の[[ガロワ理論]]は単純になるからだ、というのも体拡大が分離的であるという一般的なガロワの仮定はこれらの体では自動的に満たされるからである（上の3つ目の条件を見よ）。
より一般的に、標数が素数 ''p'' の[[環 (数学)|環]]はフロベニウス自己準同型が自己同型のときに'''完全'''と呼ばれる<ref>{{harvnb|Serre|1979}}, Section II.4</ref>。（これは整域上で上の条件「''k'' のすべての元は ''p''ベキである」と同値である。）
== 例 ==
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* 完全体上代数的な体
実は、実際問題として現れるたいていの体は完全である。不完全体は主に正標数の代数幾何学で現れる。すべての不完全体は
* 不定元 <math>X</math> 上のすべての有理関数からなる体 <math>k(X)</math> ただし ''k'' の標数は ''p''>0 （なぜなら ''X'' は ''k''(''X'') において ''p''乗根をもっていない）。
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