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4行目: 例： 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15) ''n'' 番目の三角錐数 T<sub>n</sub> は1から ''n'' 番目の三角数 ''n''(''n'' + 1)/2 までの[[和]]に等しいので :<math>\begin{align} T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} &= \frac{1}{2} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ \end{align}</math> また[[組み合わせ]]の記号を用いると <math>T_n = {}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> となる。 11行目: :[[1]], [[4]], [[10]], [[20]], [[35]], [[56]], [[84]], [[120]], [[165]], [[220]], [[286]], [[364]], [[455]], [[560]], [[680]], [[816]], [[969]], …（{{OEIS\|A292}}） == 性質 == ~~三角錐数のうち[[平方数]]でもある数は 1, 4 と 19600 (=140<sup>2</sup>) の3つのみである。また三角錐数でなおかつ[[四角錐数]]でもある数は1のみである。~~ * 三角錐数のうち[[三角平方数]]でもある数は[[ 1]], ~~[[10]],~~4 ~~[[120]],~~と ~~1540,~~19600 ~~7140~~(=140<sup>2</sup>) の53つのみである。~~（{{OEIS\|A027568}}）~~また三角錐数でなおかつ[[四角錐数]]でもある数は1のみである。 * 三角錐数のうち[[三角数]]でもある数は[[1]], [[10]], [[120]], 1540, 7140 の5つのみである。（{{OEIS\|A027568}}） 2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。▼ ▲* 2つの連続する三角錐数の和は[[四角錐数]]になる。三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1{{sup\|2}}+3{{sup\|2}}+5{{sup\|2}}、56=2{{sup\|2}}+4{{sup\|2}}+6{{sup\|2}})▼ ▲* 三角錐数の奇数番目は奇数の[[平方和]]、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1{{sup\|2}}+3{{sup\|2}}+5{{sup\|2}}、56=2{{sup\|2}}+4{{sup\|2}}+6{{sup\|2}}) 奇数の時　<math>\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6}</math>▼ 偶:奇数の時　<math>\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{2n(2n+-1)\cdot 2n\cdot (2n+21)}{6}</math> ▲奇:偶数の時　<math>\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{2n(2n-+1)~~\cdot 2n\cdot~~ (2n+12)}{6}</math> 三角錐数は[[奇数]]-[[偶数]]-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。▼ ▲* 三角錐数は[[奇数]]-[[偶数]]-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。 [[画像:Pascal triangle.svg\|right\|thumb\|350px\|パスカルの三角形]] * [[パスカルの三角形]]における[[数列]]は左にある列から順に :モナド（([[単数]]）)の数列　1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, 1,… :自然数の数列　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, <math>{}_{n}{\rm C}_{1} \,</math> ,… :[[三角数]]の数列　[[1]], [[3]], [[6]], [[10]], [[15]], [[21]], [[28]], [[36]], [[45]],…, <math>{}_{n+1}{\rm C}_{2} \,</math> ,… :三角錐数の数列　[[1]], [[4]], [[10]], [[20]], [[35]], [[56]], [[84]], [[120]], [[165]],…, <math>{}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> ,… となっている。上にある数列はその一つ下の数列の[[階差数列]]である。 * 三角錐数の[[逆数]]の[[総和]]は :<math>\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}} &= 6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right)\\ &= 3 \bigg\{\left(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{\not1}{\not3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\not2}{\not3} + \frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4}\right) + \left(\frac{\not1}{\not3} - \frac{\color{Red}\not2}{\color{Red}\not4} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) + \cdots \bigg\}\\ &= \frac{3}{2}\end{align}</math>

「三角錐数」の版間の差分