「ネイピア数」の版間の差分

:<math style="margin-left:2em;">\frac{d \over }{dx} \, a^x

= \left(a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^h-1}{h} \right) a^x

:元金1を年利1、付利期間を({{sfrac|1/|''n)''}}年で1年預金すれば、({{sfrac|1/|''n)''}}年ごとに利子({{sfrac|1/|''n)''}}で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。''n'' → ∞ n→∞とした極限は連続複利の元利合計となる。

:オイラーは、導関数がもと元の関数と等しい[[指数関数]]の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで ''n'' は[[自然数]]だが、''n'' を[[実数]]として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。

[[ファイル画像:Ln+e.svg|thumb|right|200px|自然対数の ''e'' における値は 1 である。すなわち ln ''e'' = 1。]]

:exp ''x'' は[[指数関数]]、ln ''x'' は[[自然対数]]であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数はをネイピア数 ''e'' を用いてにより定義する場合、こともあるが、それを逆らの式によりネイピア数のを定義に用いすることは、[[循環定義|定義が循環]]しとなってしまう。そので、できない。以下ために示すようなネイピア数 ''e'' を用いない指数関数・対数関数の定義として以下に示すより、ネイピア数を定義できうなものがある。

[[ファイル画像:hyperbola E.svg|200px|thumb|right|グラフ ''y'' = {{sfrac|1|''x''}} の 1 ≤ ''x'' ≤ ''e'' における領域の面積は 1 になる。]]

*: これは関数 <math>\exp x=e^x</math> を[[テイラー展開]]したものである。

*: という[[微分方程式|常微分方程式]]の初期値問題の解 ''y''(''x'') によって exp ''x'' = ''y''(''x'') が定義される。