「双極定理」の版間の差分

[[数学]]において、'''双極定理'''（そうきょくていり、{{Lang-en-short|bipolar theorem}}）とは、{{仮リンク|錐 (線型代数学)|label=錐|en|cone (linear algebra)}}がその{{仮リンク|[[双対錐と極錐|label=双極|en|Dual cone and polar cone}}]]と等しいための[[必要十分条件]]を与える[[凸解析]]の一[[定理]]である。双極定理は、{{仮リンク|[[フェンシェル＝モローの定理|en|Fenchel–Moreau theorem}}]]の特別な場合と見なすことが出来る<ref name="BorweinLewis">{{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan |authorlink1=:en:Jonathan Borwein|last2=Lewis |first2=Adrian |title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples| edition=2 |year=2006 |publisher=Springer |isbn=9780387295701}}</ref>{{rp|76–77}}。

<math>f(x) = \delta(x|C) = \begin{cases}0 & \text{if } x \in C\\ +\infty & \text{else}\end{cases}</math> はある錐 <math>C</math> に対する[[指示函数]]とする。このとき、{{仮リンク|[[凸共役性|en|convex conjugate}}凸共役]] <math>f^*(x^*) = \delta(x^*|C^o) = \delta^*(x^*|C) = \sup_{x \in C} \langle x^*,x \rangle</math> は <math>C</math> に対する{{仮リンク|支持函数|en|Support function}}であり、<math>f^{**}(x) = \delta(x|C^{oo})</math> である。したがって、<math>C = C^{oo}</math> であるための必要十分条件は、<math>f = f^{**}</math> である<ref name="BorweinLewis"/>{{rp|54}}<ref name="Rockafellar"/>。