「実数値関数」の版間の差分

多くの重要な[[関数空間]]が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

 

{{mvar|X}} を[[任意]]の[[集合]]とする。{{math|''F''(''X'', '''R''')}} を {{mvar|X}} から {{math|'''R'''}} への[[関数 (数学)|関数]]全体の集合で表すものとする。{{math|'''R'''}} は[[可換体]]であるので、{{math|''F''(''X'', '''R''')}} は[[ベクトル空間]]であり、[[実数]]上の[[結合多元環]]は、以下のように定義できる。

# [[空間ベクトル|ベクトル和]]: {{math|''f'' + ''g'': ''x'' {{mapsto}} ''f''(''x'') + ''g''(''x'')}}

これによって、{{math|''F''(''X'', '''R''')}} は{{仮リンク|半順序環|en|partially ordered ring}}とある。

 

[[ボレル集合]]の [[完全加法族|{{mvar|σ}}-代数]]は[[実数]]上に定義される重要な[[代数的構造|構造]]である。{{mvar|X}} が {{mvar|σ}}-代数を持ち、[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} が、すべてのボレル集合 {{mvar|B}} に対して、その[[像 (数学)|原像]] {{math|''f''⁻¹(''B'')}} が {{mvar|X}} の {{mvar|σ}}-代数に属しているとき、{{mvar|f}} は[[可測関数|可測]]であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。 

 

[[実数]]は、[[位相空間]]であり[[完備距離空間]]である。[[連続]]な実数値関数（これは暗黙のうちに {{mvar|X}} が位相空間であることを主張する）は位相空間や[[距離空間]]の理論で重要なものである。[[極値定理]]は、[[コンパクト空間]]上のすべての連続な実数値関数には（極小、極大にとどまらない大域的な）[[最大と最小|最小値と最大値]]が存在することを主張する。