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「フラクタル次元」の版間の差分

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フラクタル構造を生成するアプローチは主に2つある。1つは単位となる図形から成長させる方法（図1）、もう1つは[[シェルピンスキーのギャスケット|シェルピンスキーの三角形]]のようにもととなる構造を続けて分割してゆく方法（図2）である<ref name=Vicsek>{{cite book |author=Vicsek, Tamás |title=Fluctuations and scaling in biology |publisher=Oxford University Press |location=Oxford [Oxfordshire] |year=2001 |isbn=0-19-850790-9 }}</ref>。ここでは第2のアプローチによってフラクタル次元を定義する。
 
ユークリッド次元<math> {{mvar|D</math>}} に存在する線形サイズ1の図形があり、そのサイズを各空間方向に< {{math>|1/''l</math>''}} に縮めると、もとの図形を埋めるには< {{math>|1=''N'' = ''l^{{sup|D</math>}}''}} 個の自己相似図形が必要となる（図1）。しかしながら、
 
:<math>D = \frac{\log N(l)}{\log l}</math>
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:<math>D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\frac{1}{\epsilon}}</math>
 
ここで {{math|''<math>N</math>''(''ε)'')}} はもとの構造全体を埋めるのに必要とされる線形サイズεの自己相似構造の数である。
 
例えば、[[シェルピンスキーのギャスケット|シェルピンスキーの三角形]]（図2）は &#189; に縮めると3つの自己相似構造が必要になるので、そのフラクタル次元はこのように求められる：
 
:<math> D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)}
= \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log3log 3^k}{\log2log 2^k} = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585 </math>
 
<br>
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同様に、コッホ雪片のフラクタル次元は
 
:<math> D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)}
= \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log4log 4^k}{\log3log 3^k} = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1.262 </math>
 
となり、シェルピンスキーの三角形はコッホ雪片と比べ密であると言える。
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== 現実世界のデータのフラクタル次元の概算 ==
上述のようなフラクタル次元の尺度は、形式的に定義されたフラクタルから得られたものである。しかしながら、生命体や現実世界の現象もまたフラクタルの特性を示すのであるから<!--（[[フラクタル#自然界でのフラクタル]]参照）:ない -->、一連の[[標本 (統計学)|標本]]データのフラクタル次元を記述することは有用であることも多い。この場合のフラクタル次元は正確に求めることはできないが、概算は可能なはずである。例えば、自然界の海岸線は砂粒などの大きさという限界があるので厳密にはフラクタルではない<ref>高安(1985) p. 894</ref>が、[[リアス式海岸]]のような複雑な海岸線はフラクタル的な特性を示し、そのフラクタル次元は複雑さに応じて概ね 1 < ''D'' < 1.3 となる<ref>高安(1985) p.906</ref>。
 
[[Image:Intestine Wall.jpg|thumb|腸壁の顕微鏡写真]]
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