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'''計量テンソル'''(けいりょうテンソル、metric tensor)は、[[リーマン幾何学]]において、空間内の[[距離]]と[[角度]]を定義する、[[階数]](rank)が2の[[テンソル]]である。[[多様体]]が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体を[[リーマン多様体]]と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、'''リーマン計量'''(Riemannian metric)と呼ばれることもある。
[[多様体]]が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体を[[リーマン多様体]]と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、'''リーマン計量'''(Riemannian metric)と呼ばれることもある。
 
ひとたび、ある座標系 {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} が選ばれると、計量テンソルは[[行列]]形式で定義される。通常、{{math|''G''}} として表記され、各成分は <{{math>| g_{''g''<sub>''ij}^{}''</mathsub>}}して表される。以下では、添え字の和に関して[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。
 
点{{math|''a''}} から {{math|''b ''}} までの曲線の長さは、<math>t_{}^{}</math>|''t''}} をパラメータとして、
 
{{Indent|:<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>}}
a から b までの曲線の長さは、<math>t_{}^{}</math> をパラメータとして、
して定義される。2つの接ベクトル(tangent vector)<math>U=u^i{\partial\over \partial x_ix^i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x_ix^i} \ </math> のなす角度<math>\theta_ {}^{math|&theta;}}</math> は、
 
:<math>
{{Indent|<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>}}
 
として定義される。2つの接ベクトル(tangent vector)<math>U=u^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> のなす角度<math>\theta_{}^{}</math> は、
 
{{Indent|<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}
\ </math>}}
 
で与えられる。
 
<!--
The induced metric tensor for a smooth [[embedding]] of a [[manifold]] into [[Euclidean space]] can be computed by the formula
==例==
===ユークリッド計量===
2次元の[[ユークリッド計量]](平らな空間)は、計量テンソルは[[クロネッカーのデルタ]]、または[[単位行列]]で与えられる。すなわち
{{Indent|:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>,\quad  <math>ds^2_{}=(dx^1)^2 + (dx^2)^2 </math>}}
で与えられ、曲線の長さは良く知られた公式
 
{{Indent|:<math>L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2} \ </math>}}
で与えられ、曲線の長さは、良く知られた公式
で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る<ref>{{cite|和書 |author=高橋康 |author2=柏太郎 |title=量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補版 |edition=2 |publisher=講談社サイエンティフィク |year=2005 |isbn=4-06-153252-9 |page=10}}</ref>。
{{Indent|<math>L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2} \ </math>}}
で与えられる。
 
座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。
 
;[[極座標]](Polar coordinates): <math>(x^1, x^2)=(r, \theta) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}</math>,\quad  <math>ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 </math>
;[[円筒座標]](Cylindrical coordinates): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \ </math> 
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>,\quad   <math>ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2 </math>
;[[球座標]](Spherical coordinates): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix} </math>,\quad   <math>ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2 </math>
;平らな [[ミンコフスキー空間]](flat Minkowski space): <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} </math>,\quad  <math>ds^2_{}=-(dt)^2 +(dx)^2 +(dy)^2+(dz)^2</math>
 
==脚注==
{{reflist}}
 
{{Template:Tensors}}