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[[ファイル:Sinh.png|thumb|奇関数の例：双曲線正弦関数]]
[[画像:Quadratic-func.png|thumb
|二次関数のグラフ。(''x'' -− 10)<sup>2</sup> を除き偶関数の例である。(''x'' -− 10)<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> -− 20''x'' + 100 は 1 次の項を含むので偶関数ではない（奇関数でもない。ただし、''X'' = ''x'' -− 10 に関する偶関数である）。
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[[画像:Cubic-func.png|thumb
* 偶関数かつ奇関数であるような関数 ''f(x)'' は、 ''f(x) = 0'' しかない。当然 ''f(x) = 0'' ならば ''f(x)'' は偶関数でかつ奇関数である（[[同値]]）。
* 偶関数全体の成す集合・奇関数全体の成す集合はともに[[ベクトル空間]]の構造を持つ。さらに偶関数の全体は[[交換法則|可換]][[多元環]]を成す。一方、奇関数の全体は積について閉じておらず多元環を成さない。
* 関数 ''f''(''x)'') を任意の関数とするとき、以下は それぞれ偶関数および奇関数となる。<ref name="F1986" />。
*:<math>f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} \quad ,\quad f_o(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>
*:関数 ''fef{{sub|e}}''(''x)'') はを、関数 ''f''(''x)'') の'''偶関数部分'''という。添字 ''e'' は偶 (even) を表わす。
*:関数 ''fof{{sub|o}}''(''x)'') はを、関数 ''f''(''x)'') の'''奇関数部分'''という。添字 ''o'' は奇 (odd) を表わす。
* 関数全体の成すベクトル空間は、偶関数全体の成すベクトル空間と奇関数全体の成すベクトル空間の[[直和]]に分解される。すなわちどんな関数も偶関数と奇関数の和としてただ一通りに表される：
**:<math>f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math> ▼** すなわちどんな関数も偶関数と奇関数の和としてただ一通りに表される：
▲**:<math>f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math>
== 例 ==
=== 偶関数 ===
* [[絶対値]]（<関数 {{math>|{{mabs|''x|</math>）''}}}}
* [[余弦関数]]（< {{math>\|cos ''x</math>）''}}
* [[双曲線関数|双曲線余弦関数]] <{{math>\|cosh ''x</math>''}}
* <{{math>|''x^''{{sup|2</math>}}}}, <{{math>|''x^''{{sup|4</math>}}}} 等の[[偶数]]次冪関数 ''x''<sup>2''n''</sup> （''n'' は自然数）。''n'' = 0 なら {{math|1=''x''{{sup|0}} = 1}} でありこれも偶関数
* ''x''<sup>-2−2</sup> , ''x''<sup>-4−4</sup> 等の関数 ''x''<sup>-2n−2''n''</sup> （ ''n'' は自然数） n = 0 なら <math> x^0 = 1</math> でありこれも偶関数
* [[定数関数]]
* 任意の関数 ''f''(''x'') に対して ''f''(''x'') + ''f''(-−''x'')
=== 奇関数 ===
* [[正弦関数]]（< {{math>\|sin ''x</math>）''}}
* [[正接関数]]（< {{math>\|tan ''x</math>）''}}
* 双曲線正弦関数 <{{math>\|sinh ''x</math>''}}
* <math>{{mvar|x</}}, {{math>、<math>|''x^''{{sup|3</math>}}}} 等の[[奇数]]次冪関数 ''x''<sup>2''n'' -− 1</sup> （''n'' は自然数）
* ''x''<sup>-1−1</sup>, ''x''<sup>-3−3</sup>等の関数 ''x''<sup> -−(2''n'' -− 1)</sup> （''n'' は自然数）
* 逆正弦関数 （sin<sup>-1−1</sup>x）
* 逆正接関数 （tan<sup>-1−1</sup>x）
* 任意の関数 ''f''(''x'') に対して ''f''(''x'') -− ''f''(-−''x'')
== 脚注 ==
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