「リーマン曲率テンソル」の版間の差分
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m →リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0: \mathrm, {{math}} |
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となる。
== リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0 ==
リーマン多様体においては、ごく近い2点間の距離（線素）
:<math>\mathrm ds = \sqrt{\sum_{i , j} g_{i j}(x) \mathrm dx^i \mathrm dx^j}</math>
で定義されるが、ここで、係数 {{Math|''g<sub>ij</sub>''(''x'')}} は、一般に座標 {{Math|1=''x'' = (''x<sup>h</sup>'')}} の関数である。一方、ユークリッド空間においては、'''直交座標系をとれば'''ごく近い2点間の距離
:<math>\mathrm ds = \sqrt{\sum_{i , j} \delta_{i j} \mathrm dx^i \mathrm dx^j }</math>
で与えられるが、直交座標系
したがって、
{{Quotation|
リーマン多様体の一部領域がユークリッド空間に一致⇔その領域における基本計量テンソル {{math|''g<sub>ij</sub>''(''x'')}} を全部定数にする座標変換が存在する。
}}
ここで、{{Math|''g<sub>ij</sub>''}} が全て定数であれば、[[クリストッフェル記号]]はその定義から明らかに0となる。逆にクリストッフェル記号が0であれば、リッチの補定理 <math>\nabla_k g_{ij} = 0</math> から
:<math>\nabla_k g_{ij} = \frac{\partial g_{ij} }{ \partial x^k} - \sum_a g_{a j} \left\{ { {a}\atop{i k} } \right\} - \sum_a g_{i a} \left\{ { {a}\atop{j k} } \right\} = \frac{\partial g_{ij} }{ \partial x^k} = 0</math>
となり、{{Math|''g<sub>ij</sub>''}} は全て定数となる。よって、
{{Quotation|
ある領域における基本計量テンソル {{Math|''g<sub>ij</sub>''(''x'')}} を全部定数にする座標変換が存在する ⇔ その領域においてクリストッフェル記号を全て0にする座標変換が存在する。
}}
ここで、座標系
:<math>\sum_i \frac{\partial u^a}{\partial x^i} \left\{ { {i}\atop{j k} } \right\} = \sum_{b, c} \frac{\partial u^b}{\partial x^j} \frac{\partial u^c}{\partial x^k} \left\{ \overline{ {a}\atop{b c} } \right\} + \frac{\partial^2 u^a}{\partial x^j \partial x^k}</math>
座標系（u<sup>h</sup>）がクリストッフェル記号を全て1にする
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