「コーシーの積分定理」の版間の差分

'''コーシーの積分定理'''（コーシーのせきぶんていり、Cauchy's integral theorem）は、'''コーシーの第1定理'''ともいわれる、[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]によって示された、[[数学]]、特に[[微分積分学]]において、[[ガウス複素平面]]上でのある[[領域 (解析学)|領域]]において[[正則]]であるな関数の[[線複素積分]]についての定理で、[[複素積分]]における代表的な定理である。

== 定理など内容 ==

コーシーの積分定理は様々な形に言い換えることができるが、よく次のように記述されることが多い。

''D'' を[[単連結空間|単連結]]な[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則]]である[[複素関数]]とするとき、''C'' を ''D'' 内にのある[[長さ]]を持つ[[閉曲線]]であるとすると、

つまり、ある領域を囲む閉曲線で複素関数 ''f''(''z'') を積分をするとき、その領域内で ''f''(''z'') が常に[[正則]]ではない部分が[[存在]]しない場合にはあれば、その積分の値は必ず [[0]] となることを主張している。

この定理はまた、正則関数が無限回[[微分]]できる性質の裏返しでもある。複素積分（線積分）とは[[定積分]]であるから、領域内に <math>\ dF/dz = f </math> となるような別の正則関数 <math>\ F </math> が存在する場合に、始点と終点を定めれば積分路によらず

となる。このとき閉曲線、つまり始点と終点が一致する場合に値が 0 になることは自明らかである。すなわちコーシーの積分定理は、単連結な領域上の正則関数には、このような <math>\ F </math> が常に存在することを意味している。