「商群」の版間の差分

[[数学]]において，'''商群'''（しょうぐん，{{lang-en-short|quotient group, factor group}}）あるいは'''剰余群'''，'''因子群'''とは，群構造を保つ[[同値関係]]を用いて，大きい群から似た元を集めて得られる[[群 (数学)|群]]である．例えば，[[合同算術|{{mvar|n}} を法とした加法]]の[[巡回群]]は，[[整数]]から，差が {{mvar|n}} の倍数の元を同一視し，そのような各類（[[合同類]]と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる．[[群論]]と呼ばれる数学の分野の一部である．

群の商において，[[単位元]]の[[同値類]]はつねにもとの群の[[正規部分群]]であり，他の同値類たちはちょうどその正規部分群の[[剰余類]]たちである．得られる商は {{math|''G'' / ''N''}} と書かれる，ただし {{mvar|G}} はもとの群で {{mvar|N}} は正規部分群である．（これは「{{math|''G'' mod ''N''}}（ジーモッドエヌ）」と読まれる．"mod" は modulo の略である．）

商群の重要性の多くはその[[群準同型|準同型]]との関係に由来する．[[同型定理#第一同型定理|第一同型定理]]は任意の群 {{mvar|G}} の準同型による[[像 (数学)|像]]はつねに {{mvar|G}} のある商と[[群同型|同型]]であると述べている．具体的には，準同型 {{math|''φ'': ''G'' → ''H''}} による {{mvar|G}} の像は {{math|''G'' / ker(''φ'')}} と同型である，ただし {{math|ker(''φ'')}} は {{mvar|φ}} の[[核 (代数学)|核]] を表す．

[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} と部分群 {{mvar|H}} と，{{mvar|G}} の元 {{mvar|a}} が与えられると，対応する左[[剰余類]] {{math|1=''aH'' := {{mset| ''ah'' : ''h'' in∈ ''H'' }}}} を考えることができる．剰余類は群の部分集合の自然な類である；例えば，[[整数]]全体のなすアーベル群 {{mvar|G}} と偶数全体からなる部分群 {{mvar|H}} を考えよう．するとちょうど2つの剰余類があり，1つは {{math|0 + ''H''}} で，偶数全体からなり，もう1つは {{math|1 + ''H''}} で，奇数全体からなる（ここで二項演算には乗法的ではなく加法的な表記を用いている）．

一般の部分群 {{mvar|H}} に対して，すべての剰余類 {{math|{{mset| ''aH'' : ''a'' in∈ ''G'' }}}}からなる集合に協調的な群演算を定義することが望ましい．これは以下に見るように {{mvar|H}} が[[正規部分群]]であるときにちょうど可能である．群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|N}} が正規であるとは，{{mvar|G}} のすべての元 {{mvar|a}} に対して剰余類の等式 {{math|1=''aN'' = ''Na''}} が成り立つことをいう．{{mvar|G}} の正規部分群は {{math|''N'' ◁ ''G''}} と書かれる．

:{{math|1= ''G''/''N'' = {{mset| ''aN'' : ''a'' ∈ G }} = {{mset| {{mset|0, 3}}, {{mset|1, 4}}, {{mset|2, 5} }}} = {{mset| 0 +N ''N'', 1 + ''N'', 2 +N ''N''}}.}}

アーベル群 {{math|1='''Z'''₄ = '''Z'''/4'''Z'''}}（すなわち 4 を法とする加法をもつ集合 {{math|{{mset|0, 1, 2, 3}}}}）とその部分群 {{math|{{mset|0, 2}}}} を考える．商群 {{math|'''Z'''₄/{{mset|0, 2}}}} は {{math|{ { mset|{{mset|0, 2 }}, { {mset|1, 3 } } }}}} である．これの群の単位元は {{math|{{mset|0, 2}}}} であり，群の演算は {{math|1={ {mset|0, 2 }} + { {mset|1, 3 }} = { {mset|1, 3 } }}} などとなる．部分群 {{math|{ {mset|0, 2 } }}} と商群 {{math|{ { mset|{{mset|0, 2 }}, { {mset|1, 3 } } }}}} はともに {{math|'''Z'''₂}} に同型である．

{{mvar|G}} の各元 {{mvar|g}} を {{mvar|g}} が属する {{mvar|N}} の剰余類に送る「自然な」[[全射]][[群準同型]] {{math|''π'': ''G'' → ''G''/''N''}}, すなわち {{math|1=''π''(''g'') = ''gN''}}, が存在する．写像 {{mvar|π}} はときに {{mvar|G}} の {{math|''G''/''N''}} の上への[[商写像|自然な射影 (canonical projection) ]]と呼ばれるその[[核 (代数学)|核]]は {{mvar|N}} である．

{{mvar|N}} を含む {{mvar|G}} の部分群たちと {{math|''G''/''N''}} の部分群たちの間には全単射な対応がある；{{mvar|H}} が {{mvar|G}} の {{mvar|N}} を含む部分群ならば，{{math|''G''/''N''}} の対応する部分群は {{math|''π''(''H'')}} である．この対応は {{mvar|G}} と {{math|''G''/''N''}} の正規部分群たちに対しても成り立ち，{{仮リンク|lattice対応定理 theorem(群論)|label=対応定理|en|lattice theorem}}においとして定式化される．

{{mvar|G}} と正規部分群 {{mvar|N}} が与えられると，{{mvar|G}} は {{math|''G''/''N''}} の {{mvar|N}} による[[群拡大]]である．この拡大が自明あるいは分裂するかどうか問うことができる．言い換えると，{{mvar|G}} が {{mvar|N}} と {{math|''G''/''N''}} の[[群の直積|直積]]あるいは[[半直積]]であるかどうかを問うことができる．これは{{仮リンク|[[群の拡大#拡大問題|en|extension problem}}拡大問題]]の特別な場合である．拡大が分裂しない例は以下である：{{math|1=''G'' = '''Z'''₄ = {0, 1, 2, 3} }} とし，{{math|1=''N'' = {0, 2} }}とする．{{mvar|N}} は {{math|'''Z'''₂}} に同型である．このとき {{math|''G''/''N''}} も {{math|'''Z'''₂}} に同型である．しかし {{math|'''Z'''₂}} は自明な[[自己同型]]しか持たないから，{{mvar|N}} と {{math|''G''/''N''}} の半直積は直積しかない．{{math|'''Z'''₄}} は {{math|'''Z'''₂ × '''Z'''₂}} とは異なるから，{{mvar|G}} は {{mvar|N}} と {{math|''G''/''N''}} の半直積ではない．

*{{仮リンク|Lattice対応定理 theorem(群論)|en|Lattice theorem}}

*{{仮リンク|商圏 (圏論)|en|Quotient category}}