「ペル方程式」の版間の差分
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m →解法: ちょっとしたTIPを、追記。 |
m →解法: 表記の曖昧さを、説明文の追加でカバー。 |
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は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の[[冪乗]]になることが知られている。
最小解を得る法としては、[[連分数]]展開からの近似分数を利用する方法が良く
具体的には、{{math|{{sqrt|''n''}}}} の[[連分数]]展開を、{{math|{{sqrt|''n''}}}} = {{math|''A''}} = {{math|[''a''<sub>0</sub>; ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a<sub>m</sub>'']}}
例えば {{mvar|n}} が {{math|7}} ならば、{{math|1={{sqrt|7}} = [2; 1, 1, 1, 4]}} (周期は 4 で偶数) なので、{{math|[2; 1, 1, 1]}} から近似分数 {{math|8/3}} が得られ、{{math|1=(''x'', ''y'') = (8, 3)}} が最小解となる。{{mvar|n}} が {{math|61}} の場合は 、<math>\sqrt{61} = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]</math> (周期は 11 で奇数) なので近似分数 29718/3805 が得られ、右辺 = −1 の最小解は <math>(x_1, y_1) = (29718, 3805)</math> となる。右辺 = 1 の最小解は、<math>x + y\sqrt{61} = (x_1 + y_1\sqrt{61})^2\,</math> から {{math|1=(''x'', ''y'') = (1766319049, 226153980)}} となる。
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