「調和数」の版間の差分

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(約数の和の調和平均の数列及びオンライン数列を追加)
{{Otheruses|オアの調和数|[[調和級数]]の部分和|調和数 (発散列)}}
'''調和数'''(ちょうわすう、{{lang-en-short|harmonic divisor number}})は、[[自然数]]のうち、全ての正の[[約数]]の[[調和平均]]が[[整数]]値をもつになる数のことである。例えば最小は {{math|[[1]]}} で、その次は {{math|[[6]]}} である。実際、{{math|6}} の正の約数の調和平均は
<math>\left (\frac{4}{\frac{1}{1} +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{6}}\right) =2</math>  で整数値となるので {{math|6}} は調和数である。
 
調和数無数に存在するかどうか分かっていない。また{{math|1}} 以外うち最も小さいも[[奇数]]調和数1であ発見されていなく、存在すかどうかも分かっていない
 
[[完全数]]は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が必ず {{math|2}} なので調和数である。
調和数を1から小さい順に列記すると
:[[1]], [[6]], [[28]], [[140]], [[270]], [[496]], [[672]], 1638, 2970, 6200, [[8128]], 8190, …({{OEIS|id=A001599}})
 
であり、このときの約数の調和平均は
 
:1, 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9, 11, 10, 7, 15,…({{OEIS|A001600}})
 
調和数の列は、
:{{math|[[1]], [[6]], [[28]], [[140]], [[270]], [[496]], [[672]], 1638, 2970, 6200, [[8128]], 8190, …(…}}({{OEIS|id=A001599}})
であり、こ調和数ときの約数の調和平均は
:{{math|1, 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9, 11, 10, 7, 15, (}}({{OEIS|A001600}})
である。
 
[[完全数]]は全て調和数である。なぜなら完全数の約数の[[逆数]]和は2であり、約数は全部で[[偶数]]個あるため、完全数の約数の調和平均は必ず整数値をとるからである。
 
[[奇数]]の調和数は1以外発見されておらず、他にそのような数が存在するかどうかは分かっていない。
 
== その他調和数に関連すること ==
{{mvar|n}}番目までの自然数の逆数の和を調和数とぶこともある。この調和数はn≧2 {{math|''n'' ≥ 2}} では整数値にならないことが知られている。区別のため完全数が含まれるほう(本項目)の調和数を[[w:Ore's harmonic number|オアの調和数]]とぶこともある。[[w:Øystein Ore|オア]]は[[1948年]]に調和数の概念を考案した[[数学者]]の名前である。
 
== 関連項目 ==
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