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[[量子力学]]の[[時間発展]]において、'''相互作用描像''' (そうごさようびょうぞう、{{Lang-en-short|Interaction picture}}）または'''相互作用表示'''（そうごさようひょうじ）とは、[[シュレーディンガー描像]]と[[ハイゼンベルグ描像]]の中間というべき描像である。これら2つの描像では、[[状態ベクトル]]または[[作用素|演算子]]のどちらかのみが[[時間]]に依存するが、相互作用描像にたてばこの両者が[[可観測量]]の時間依存性に寄与する。'''ディラック描像'''とも。
 
シュレーディンガー描像およびハイゼンベルグ描像では、{{Math|{{Hat|''A''}}(''t''<sub>1</sub>) &minus; {{Hat|''A''}}(''t''<sub>2</sub>)}} などのように異なる時間における演算子を含む式は必ずしも意味をなさないが、相互作用描像では許される。これは非時間依存[[ユニタリ変換]]が、ある描像における演算子を他の描像における対応する演算子と関連づけるためである。演算子がどの描像におけるものなのかが明示されていない書物もあり、混乱と誤用を招くこともある。
==定義==
 
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<!-- Operators and state vectors in the interaction picture are related by a change of basis ([[unitary transformation]]) to those same operators and state vectors in the Schrödinger picture. -->
 
相互作用描像に移るために、シュレーディンガー描像の[[ハミルトニアン]]を {{Math|1={{Hat|''H''}}<sub>S</sub> = {{Hat|''H''}}<sub>0,S</sub> + {{Hat|''H''}}<sub>1,S</sub>}} のように二つにわける。<ref>全てのわけかたから意味をもった相互作用描像を得ることができる。しかし、相互作用描像によって問題の解析を容易にするためには、典型的には {{Math|{{Hat|''H''}}{{sub|0, S}}}} は性質がよく理解されており、解が求まっているもの、{{Math|{{Hat|''H''}}{{sub|1, S}}}} に解析の難しい、[[摂動]]的なものが含まれるようにわけることが多い。</ref>
<!-- To switch into the interaction picture, we divide the Schrödinger picture [[Hamiltonian (quantum mechanics)|Hamiltonian]] into two parts, <math>H_S = H_{0,S} + H_{1, S}</math>. (Any possible choice of parts will yield a valid interaction picture; but in order for the interaction picture to be useful in simplifying the analysis of a problem, the parts will typically be chosen so that <math>H_{0,S}</math> is well understood and exactly solvable, and <math>H_{1,S}</math> contains some harder-to-analyze perturbation to this system.) -->
 
もし、ハミルトニアンが''陽に時間に依存''する場合(例えば、量子系が時間変化する外部電場と相互作用する場合)、大抵の場合は {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>1,S</sub>}} に陽に時間に依る部分を含め、{{Math|{{Hat|''H''}}<sub>0,S</sub>}} を時間非依存に選ぶのが好都合である。この場合を想定して話を進める。<ref>もし、{{Math|{{Hat|''H''}}{{sub|0, S}}}} が時間依存''する''場合においては、{{Math|exp(&plusmn; ''iHi''{{Hat|''H''}}{{sub|0, S}} ''t'' / ''ħ'')}}を対応する[[相互作用描像#.E6.99.82.E9.96.93.E7.99.BA.E5.B1.95.E6.BC.94.E7.AE.97.E5.AD.90|時間発展演算子]]に置き換えればここでの議論を適用できる。
</ref>
<!-- If the Hamiltonian has ''explicit time-dependence'' (for example, if the quantum system interacts with an applied external electric field that varies in time), it will usually be advantageous to include the explicitly time-dependent terms with <math>H_{1,S}</math>, leaving <math>H_{0,S}</math> time-independent. We will proceed assuming that this is the case. (If there ''is'' a context in which it makes sense to have <math>H_{0,S}</math> be time-dependent, then one can proceed by replacing <math>e^{\pm i H_{0,S} t/\hbar}</math> by the corresponding [[Schrödinger picture|time-evolution operator]] in the definitions below.) -->
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<!-- A state vector in the interaction picture is defined as -->
 
{{Indent|<math>\vert \psi_\mathrm{I}(t) \rang = e^{i H_\hat{H}_{0,\mathrm S} t / \hbar} \vert \psi_\mathrm{S}(t) \rang </math>}}
 
<!-- (where <math>| \psi_{S}(t) \rang </math> is the same state vector in the Schrödinger picture.) -->
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<!-- An operator in the interaction picture is defined as -->
 
{{Indent|<math>A_\hat{A}_\mathrm{I}(t) = e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar} A_\hat{A}_\mathrm{S}(t) e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar}</math>}}
 
(典型的には、{{Math|{{Hat|''A''}}<sub>S</sub>(''t'')}} は {{Mvar|t}} に依存しないので単に{{Math|{{Hat|''A''}}<sub>S</sub>}} と書ける。これが {{Mvar|t}} に依存するのは、演算子が陽に時間に依存する場合のみである。)
<!-- (Note that the <math>A_S(t)</math> will typically not depend on ''t'', and can be rewritten as just <math>A_S</math>. It only depends on ''t'' if the operator has "explicit time dependence", for example due to its dependence on an applied, external, time-varying electric field.) -->
 
41行目:
<!-- ====Hamiltonian operator==== -->
 
演算子 {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>0</sub>}} 自体については、相互作用描像における演算子はシュレーディンガー描像におけるものと等しい。
<!-- For the operator <math>H_0</math> itself, the interaction picture and Schrödinger picture are the same: -->
 
{{Indent|<math>H_\hat{H}_{0,\mathrm I}(t) = e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S}
t / \hbar} H_\hat{H}_{0,\mathrm S} e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S}
t / \hbar } = H_\hat{H}_{0,\mathrm S}</math>}}
 
(これは、演算子は自身の[[微分可能]]な関数とは[[交換関係 (量子力学)|交換]]することを用いて証明できる。)よって特にこの演算子は曖昧さを残さず{{Math|{{Hat|''H''}}<sub>0</sub>}}と呼ぶことができる。
<!-- (this can be proved using the fact that operators [[commutativity|commute]] with differentiable functions of themselves.) This particular operator can thus be called <math>H_0</math> with no ambiguity. -->
 
摂動ハミルトニアン {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>1, I</sub>}} については次のようになる。
<!-- For the perturbation Hamiltonian <math>H_{1,I}</math>, we have: -->
 
{{Indent|<math>H_\hat{H}_{1,\mathrm I}(t) = e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar} H_\hat{H}_{1,\mathrm S} e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar}</math>}}
 
このように相互作用描像における摂動ハミルトニアンは時間非依存になる。（ただし{{Math|1=[{{Hat|''H''}}<sub>1, S</sub>, {{Hat|''H''}}<sub>0, S</sub>] = 0}}の場合。)
<!-- where the interaction picture perturbation Hamiltonian becomes a time-dependent Hamiltonian (unless <math>[H_{1,s},H_{0,s}]=0</math>). -->
 
時間依存なハミルトニアン {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>0, S</sub>(''t'')}} についても、相互作用描像を得ることができるが、指数関数部分を時間発展演算子に置き換える必要がある。
<!-- It is possible to obtain the interaction picture for a time-dependent Hamiltonian <math>H_{0,s}(t)</math> as well but the exponentials need to be replaced by the unitary propagator for the evolution due to <math>H_{0,s}(t)</math> or more explicitly with a time-ordered exponential integral. -->
 
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[[密度行列]]は他の演算子と同じように相互作用描像でも表すことができる。特に、{{Math|''ρ''<sub>I</sub>}}と{{Math|''ρ''<sub>S</sub>}}をそれぞれ相互作用描像、シュレーディンガー描像における密度行列とすると、物理状態<math>|\psi_n\rang</math>が実現される確率を{{Math|''p''<sub>''n''</sub>}}として、次のように表される。
<!-- The [[density matrix]] can be shown to transform to the interaction picture in the same way as any other operator. In particular, let <math>\rho_I</math> and <math>\rho_S</math> be the density matrix in the interaction picture and the Schrödinger picture, respectively. If there is probability <math>p_n</math> to be in the physical state <math>|\psi_n\rang</math>, then --><math display="block">\begin{align}
\rho_\mathrm I(t) &= \sum_n p_n(t) |\psi_{n,\mathrm I}(t)\rang \lang \psi_{n,\mathrm I}(t)|
\\
&= \sum_n p_n(t) e^{i H_\hat{H}_{0,\mathrm S} t / \hbar} | \psi_{n,\mathrm S}(t) \rang \lang \psi_{n,\mathrm S}(t) | e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar} \\
&= e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar} \rho_\mathrm S(t) e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar}
\end{align}</math><center>
{| tableborder="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="padding: 0.3em; clear: right;margin: 0px 0px 5px 1em; border:1px solid #999; border-bottom:2px solid; border-right-width: 2px; text-align:center;line-height: 1.2em; font-size: 95%" tableborder="1"
| rowspan="2" bgcolor="#E0FFEE" style="border-left:1px solid; border-top:1px solid;" | 発展
| colspan="3" bgcolor="#E0F0FF" style="border-left:1px solid; border-right:1px solid; border-top:1px solid;" | '''描像'''
|-----
| bgcolor="#E0F0FF" style="border-left:1px solid; border-top:1px solid;" | [[ハイゼンベルク描像|ハイゼンベルク]]
81 ⟶ 82行目:
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; background:#D0FFDD;" | [[ブラ-ケット記法|ケットベクトル]]
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid;" | 一定
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid;" |<math> | \psi_\mathrm{I}(t) \rang = e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} ~t / \hbar} | \psi_\mathrm{S}(t) \rang </math>
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; border-right:1px solid;" | <math> | \psi_{\mathrm{S}}(t) \rang = e^{-i H_\hat{H}_\mathrm{S} ~t / \hbar} | \psi_{\mathrm{S}}(0) \rang </math>
|-----
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; background:#D0FFDD;" | [[オブザーバブル|可観測量]]
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid;" | <math>A_\hat{A}_\mathrm H (t)=e^{i H_\hat{H}_\mathrm {S}~ t / \hbar} A_\hat{A}_{\mathrm S} e^{-i H_\hat{H}_\mathrm {S}~ t / \hbar}</math>
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid;" | <math>A_\hat{A}_\mathrm I (t)=e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} ~t / \hbar} A_\hat{A}_{\mathrm S} e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S}~ t / \hbar} </math>
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; border-right:1px solid;" | 一定
|-----
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; border-bottom:1px solid; background:#D0FFDD;" | [[密度行列]]
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; border-bottom:1px solid; " | 一定
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; border-bottom:1px solid;" | <math>\rho_\mathrm I (t) = e^{i H_\hat{H}_{0, \mathrm S} ~t / \hbar} \rho_{\mathrm S} (t) e^{-i H_\hat{H}_{0, \mathrm S}~ t / \hbar}</math>
| style="border-left:1px solid; border-top:1px solid; border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | <math>\rho_{\mathrm S} (t)= e^{-i H_\hat{H}_\mathrm{S} ~t / \hbar} \rho_{\mathrm S}(0) e^{i H_\hat{H}_\mathrm{S}~ t / \hbar} </math>
|-----
|}
106 ⟶ 107行目:
<!-- Transforming the [[Schrödinger equation]] into the interaction picture gives: -->
 
{{Indent|:<math> i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} | \psi_\mathrm{I} (t) \rang = H_\hat{H}_{1, \mathrm I}(t) | \psi_\mathrm{I} (t) \rang </math>}}
 
この方程式は'''[[朝永振一郎|朝永]]-[[ジュリアン・シュウィンガー|シュウィンガー]]の式'''として知られる。
117 ⟶ 118行目:
<!-- If the operator <math>A_{S}</math> is time independent (i.e., does not have "explicit time dependence"; see above), then the corresponding time evolution for <math>A_I(t)</math> is given by: -->
 
{{Indent|:<math> i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}A_ \hat{A}_{\mathrm I} (t) =\left [A_ \hat{A}_{\mathrm I}(t),H_0 \righthat{H}_0 ]</math>}}
 
相互作用描像では演算子は、ハイゼンベルグ描像においてハミルトニアンを''H'=H<sub>0</sub>''としたときの演算子と同じように時間発展する。
129 ⟶ 130行目:
<!-- Transforming the Schwinger-Tomonaga equation into the language of the [[density matrix]] (or equivalently, transforming the [[Density_Matrix#Von_Neumann_equation|von Neumann equation]] into the interaction picture) gives: -->
 
{{Indent|:<math> i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \rho_{\mathrm I}(t) = \left[ H_\hat{H}_{1, \mathrm I}(t), \rho_{\mathrm I}(t)\right ]</math>}}
 
==相互作用描像の使用==
<!-- == Use of interaction picture == -->
 
相互作用描像の目的は、{{Math|{{Hat|''H''}}<sub>0</sub>}} が演算子に作用することによる時間依存性と、{{Math|{{Hat|''H''}}<sub>1, I</sub>}} が状態ベクトルに作用することによる時間依存性を分離してしまうことにある。
<!-- The purpose of the interaction picture is to shunt all the time dependence due to ''H''<sub>0</sub> onto the operators, leaving only ''H''<sub>1, I</sub> affecting the time-dependence of the state vectors. -->
 
相互作用描像は、解が求まっている系のハミルトニアン {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>0, S</sub>}} に、小さな干渉項 {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>1, S</sub>}} が干渉することによる効果を検証する場合に便利である。相互作用描像を用いることにより、[[摂動|摂動法]]を用いて {{Math|{{Hat|''H''}}<sub>1, I</sub>}} の効果を調べることができる。
<!-- The interaction picture is convenient when considering the effect of a small interaction term, ''H''<sub>1, S</sub>, being added to the Hamiltonian of a solved system, ''H''<sub>0, S</sub>. By switching into the interaction picture, you can use [[perturbation theory (quantum mechanics)#Time-dependent perturbation theory|time-dependent perturbation theory]] to find the effect of ''H''<sub>1, I</sub>. -->
 
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