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「三角関数」の版間の差分

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4d065f5 (会話 | 投稿記録)
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21行目:
{{math|∠C}} を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを {{math|AB {{=}} ''h'', BC {{=}} ''a'', CA {{=}} ''b''}} と表す（図を参照）。{{math|∠A {{=}} ''θ''}} に対して三角形の辺の比 {{math|''h'' : ''a'' : ''b''}} が決まることから、
:<math>\begin{align}
\sin \theta &= {a}/{h} \\
&\begin{cases}
\sinsec \theta &= \frac{ah}/{hb} = {1}\\
\sec/ \theta =\frac{h}{b} = \frac{1}{\cos \theta} \\
\tan \theta &= \frac{a}/{b} = \frac{\sin \theta} / {\cos \theta} \\
\cos \theta &= {b}/{h} \\
\end{cases}\\
\operatorname{cosec} \theta &= \csc \theta = {h}/{a} = {1}
&\begin{cases}
/ {\cossin \theta} = \frac{b}{h}\\
\operatorname{cosec}\theta = \csccot \theta &= \frac{hb}/{a} = \frac{1}{\sin \theta}\\
\cot/ \theta =\frac{b}{a} = \frac{1}{\tan \theta}
\end{cases}\end{align}</math>
という 6 つの値が定まる。それぞれ'''正弦'''（{{en|<u>sin</u>e;}} サイン）、'''正割'''（{{en|<u>sec</u>ant;}} セカント）、'''正接'''（{{en|<u>tan</u>gent;}} タンジェント）、'''余弦'''（{{en|<u>cos</u>ine;}} コサイン）、'''余割'''（{{en|<u>cosec</u>ant;}} コセカント）、'''余接'''（{{en|<u>cot</u>angent;}} コタンジェント）と呼び、まとめて'''三角比'''と呼ばれる。ただし {{math|cosec}} は長いので {{math|csc}} と略記することも多い。ある角 {{math|∠A}} に対する余弦、余割、余接はその角 {{math|∠A}} の[[余角]] {{en|(co-angle)}} に対する正弦、正割、正接として定義される。
:<math>\begin{casesalign}
\cos \theta &= \sin \left(90^\circ - \theta \right) = \sin \left(\frac{\pi}{ / 2} - \theta \right)\\
\csc \theta &= \sec \left(90^\circ - \theta \right) = \sec \left(\frac{\pi}{ / 2} - \theta \right)\\
\cot \theta &= \tan \left(90^\circ - \theta \right) = \tan \left(\frac{\pi}{ / 2} - \theta \right)
\end{casesalign}</math>
三角比は平面[[三角法]]に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 {{mvar|θ}} の[[物理単位|単位]]は、通常[[度 (角度)|度]]または[[ラジアン]]である。
 
三角比、すなわち三角関数の直角三角形を用いた定義は、直角三角形の鋭角に対して定義されるため、その定義域は {{math|''&theta;''}} が 0° から 90° まで(0 から {{sfrac|&pi;| / 2}} まで)の範囲に限られる。また、{{math|''&theta;'' {{=}} 90° ({{=}} {{sfrac|&pi;| / 2}})}} の場合 {{math|sec, tan}} が、{{math|''&theta;'' {{=}} 0°({{=}} 0)}} の場合 {{math|csc, cot}} がそれぞれ定義されない。これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるため[[ゼロ除算]]が発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。後述する[[#単位円による定義|単位円による定義]]は初等幾何学におけるそのような拡張の例である。他に同等な方法として、[[正弦定理]]や[[余弦定理]]を用いる方法などがある。
 
=== 単位円による定義 ===
57行目:
これらは順に'''余割関数''' {{en|(<u>cosec</u>ant function)}}、'''正割関数''' {{en|(<u>sec</u>ant function)}}、'''余接関数''' {{en|(<u>cot</u>angent function)}} と呼ばれ、{{math|sin, cos, tan}} と合わせて'''三角関数'''と総称される。特に {{math|csc, sec, cot}} は'''割三角関数'''（かつさんかくかんすう）と呼ばれることがある。
 
この定義は {{math|0 &lt; ''t'' &lt; {{sfrac|&pi;| / 2}}}} の範囲では[[#直角三角形による定義|直角三角形による定義]]と一致する。
 
=== 級数による定義 ===
121行目:
 
上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。
:<math>\begin{align}
*<math>\sec^2 \theta -\tan^2 \theta =\frac{1}{\cos^2 \theta} -\tan^2 \theta = 1,</math>▼
*<math>\cscsec^2 \theta - \cottan^2 \theta &= \frac{1}{\sincos^2 \theta} -\frac{1}{ \tan^2 \theta} = 1.</math>, \\
▲*<math>\seccsc^2 \theta - \tancot^2 \theta &= \frac{1}{\cossin^2 \theta} - \frac{1}{\tan^2 \theta} = 1,</math>.
\end{align}</math>▼
 
==== 負角・余角・補角公式 ====
; 負角
*:<math>\begin{casesalign}
\sin (-\theta ) &= -\sin\theta \\
\cos (-\theta ) &= \cos\theta \\
\tan (-\theta ) &= -\tan\theta
\end{casesalign}</math>
;余角
*:<math>\begin{casesalign}
\sin ( \frac{\pi}{/2} - \theta ) &= \cos \theta \\
\cos ( \frac{\pi}{/2} - \theta ) &= \sin \theta \\
\tan ( \frac{\pi}{/2} - \theta ) &= \cot \theta
\end{casesalign}</math>
;補角
*:<math>\begin{casesalign}
\sin (\pi - \theta ) &= \sin\theta \\
\cos (\pi - \theta ) &= -\cos\theta \\
\tan (\pi - \theta ) &= -\tan\theta
\end{casesalign}</math>
 
=== 加法定理 ===
*:<math>\begin{align}
\sin (x \pm y ) &= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y</math> \\
*<math>\cos (x \pm y ) &= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y</math> \\
*<math>\tan (x \pm y ) &= \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}</math>
\end{align}</math>
 
余角や補角の公式は加法定理の特別な場合として得られることに注意する。
161 ⟶ 165行目:
==== 負角 ====
{{math|sin}} および {{math|cos}} については、冪級数による表示から明らかである。また
:<math>\begin{align}tan (-\theta )
= \frac{\tansin (-\theta )}{\cos (-\theta )}
&= \frac{-\sin (-\theta )}{\cos (-\theta )}\\
&= \frac{-\sintan \theta}{\cos \theta}\\</math>
&= -\tan\theta
▲\end{align}</math>
である。
 
173 ⟶ 175行目:
{{numBlk|:|<math>e^{iz} = \cos z + i\sin z</math>|{{equationRef|AT1-1|Euler's formula}}|RawN=.}}
と負角の公式から
:<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>
:<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>
を得、指数法則
:<math>e^{z+w}=e^ze^w</math>
251 ⟶ 252行目:
{{main|三角関数の無限乗積展開}}
三角関数は以下のように[[無限乗積]]として書ける。
:<math>\begin{align}
\sin \pi z &= \pi z \prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2} \right)}</math> \\
<math>\cos \pi z &= \prod_{n=1}^\infty \left\{ 1-\frac{z^2}{(n -\frac{ 1}{/2})^2} \right\}</math>
\end{align}</math>
 
== 部分分数展開 ==
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