「ピタゴラスの定理」の版間の差分
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m →内接円を用いた証明: 図があった方が分かりやすいと思うけど…… |
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ここで、{{math|''θ''}} が {{math|0}} から {{math|{{sfrac|π|2}}}} まで増加するとき、{{math|sin ''θ'' {{=}} {{sfrac|''a''|''c''}}}} は、{{math|0}} から {{math|1}} まで狭義単調増加し、{{math|cos ''θ'' {{=}} {{sfrac|''b''|''c''}}}} は、{{math|1}} から {{math|0}} まで狭義単調減少する<ref name="解析入門Ⅰ 三角関数"/><ref name="解析入門 原書第3版"/>。
前述の議論との整合性を保つためには、辺 {{math|''a''}} の対角を {{math|''A'' {{=}} θ}} とおかなければならない<ref group="注">まず、前述の過程より {{math|C {{=}} {{sfrac|π|2}}}} は明らかである。点P {{math|( ''c'' , 0 )}} を原点中心で {{math|''θ''}} 回転した点Q {{math|( ''b'' , ''a'' )}} を考える。ただし、{{math|0 < ''θ'' < {{sfrac|π|2}}}} とおき、''c'' を任意定数とおく。中心角は {{math|''θ''}} であり、弦の長さは{{math|''PQ'' <sup>2</sup> {{=}} ''a'' <sup>2</sup> + (''c'' − ''b'') <sup>2</sup> {{=}} 2 ''c''<sup>2</sup> ( 1 − cos ''θ'' )}} である。{{math|cos ''θ''}} は、{{math|0 < ''θ'' < {{sfrac|π|2}}}} で減少関数であるから {{math|2 ''c'' <sup>2</sup> ( 1 − cos ''θ'' )}} は増加関数である。したがって、中心角が増加すると弦の長さ ''PQ'' も増加する。これは、三角形の辺と角の大小の関係（大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい）に矛盾しない。次に、点P {{math|( ''c'' , 0 )}} を原点中心で {{math|''θ''}} 回転した点Q {{math|( ''a'' , ''b'' )}} を考える。中心角は {{math|''θ''}} であり、弦の長さは{{math|''PQ'' <sup>2</sup> {{=}} ''b'' <sup>2</sup> + ( ''c'' − ''a'' ) <sup>2</sup> {{=}} 2 ''c'' <sup>2</sup> ( 1 − sin ''θ'' )}} である。{{math|sin ''θ''}} は、{{math|0 < ''θ'' < {{sfrac|π|2}}}} で増加関数であるから、{{math|2 ''c'' <sup>2</sup> (1 − sin ''θ'')}} は減少関数である。したがって、中心角が増加すると弦の長さ ''PQ'' は減少する。これは、三角形の辺と角の大小の関係（大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい）に矛盾する。したがって、{{math|''A'' {{=}} θ}} となる。</ref>。
さらに
:<math>\tan A + \tan B + \tan C =\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \,</math>
である。
残りの辺 {{math|''b'' , ''c''}} の対角を {{math|''B'' , ''C''}} とおくと
:<math>\begin{align}
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